一个与双曲线有关的题目

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 00:06:02

一个与双曲线有关的题目
双曲线 x^2/a^2-y^2/b^=1;F为右焦点,P为曲线上一点,且P的X,Y(坐标)都大于0,M`为右准线上一点,M为左准线上一点,O为原点,且OFPM为一个平行四边行;又|PF|=λ|OF|;
1:求离心率e与λ的关系
2:λ=1时过F且平行于OP的直线交曲线于AB,|AB|=12,求直线和C的方程.

1.
设PM交右准线于M';左准线与右准线分别交x轴于C;PM交y轴于E
x²/a²-y²/b²=1
F(c,0)
|OF|=c
|PF|=λ|OF|=λc
左准线x=-a²/c
|OC|=a²/c
|PE|=|PM|-|MM'|=|OF|-2|OC|=c-2a²/c
e=|PF|/|PE|=λc/(c-2a²/c)=λc²/(c²-2a²)=λ(b²+a²)/(b²-a²)
e与λ的关系是e=λ(b²+a²)/(b²-a²)
2.
λ=1
|PF|=|OF|=c
e=(b²+a²)/(b²-a²)
e=c/a=√(b²+a²)/a
有(b²+a²)/(b²-a²)=√(b²+a²)/a
√(b²+a²)/(b²-a²)=1/a
a√(b²+a²)=b²-a²
a²(b²+a²)=(b²-a²)²
得b²=3a²
b=√3a
c=√(a²+b²)=√(a²+3a²)=2a
|PF|=|OF|=c=2a
|OC|=a²/c=a²/2a=a/2
有x²/a²-y²/3a²=1
|PE|=|PM|-|EM|=|OF|-|OC|=2a-a/2=3a/2
|MC|=√(|OM|²-|OC|²)=√(|PF|²-|OC|²)=√(2a)²-(a/2)²)=√15a/2
P(3a/2,√15a/2)
OP的斜率即AB的斜率|MC|/|PE|=(√15a/2)/(3a/2)=√15/3
AB过F(2a,0)
AB:y=√15x/3-2√15a/3
代入x²/a²-y²/3a²=1得
x²/a²-(√15x/3-2√15a/3)²/3a²=1
整理得4x²+20ax-29a²=0
设该一元二次方程的两根为x1,x2
tanPOF=√15/3
sinPOF/cosPOF=√15/3
√(1-cos²POF)/cosPOF=√15/3
√(1-cos²POF)=√15cosPOF/3
1-cos²POF=5cos²POF/3
cos²POF=3/8
cosPOF=√6/4
不妨设A在F的左边
AB‖OP有∠AFO=∠POF有cosAFO=cosPOF=√6/4
|AB|=|x1-x2|/cosAFO=12
|x1-x2|=12cosAFO
|x1-x2|=12•√6/4=3√6
(x1-x2)²=54
(x1+x2)²-4x1x2=54
由韦达定理有x1+x2=-5a,x1x2=-29a²/4
(-5a)²-4•(-29a²/4)=54
54a²=54
得a²=1
a=1
b²=3a²=3
双曲线的方程是x²-y²/3=1
直线的方程是y=√15x/3-2√15/3
这里巧妙的利用韦达定理及余弦值列出关于a的方程,避免了求根公式和两点间距离公式带来的烦琐,及大的减少了计算量.不论AB是否被x轴隔开或分别交于双曲线的左右两支,都可以通过平移AB来放入直角三角形内,对结果没有影响.

若给出两点是否只能确定一条双曲线?PS:做了几道有关给两个点求双曲线方程的题目,貌似都只有一个答案~ 有关双曲线的几道题目1.已知双曲线经过点(3,-2),且与椭圆4X^2+9Y^2=36有相同的焦点.求双曲线的方程.2. 与as soon as有关的一个题目有关双曲线的问题与诗有关的题目抛物线椭圆双曲线的题目一道有关双曲线的数学题关于双曲线几道题目（1)已知双曲线焦距与实轴长之比是2:1,则它的一个顶点把两焦点间的线段分成两线段之比为（是1:3还是与积分有关的题目(国外的) 双曲线题目一道与惯性有关的物理题目与青铜铭文有关的题目