作业帮基本不等式应用的证明问题2
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/19 04:00:01
基本不等式应用的证明问题2
已知a b c是不全相等的正数,求证：a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc
已知a b c是不全相等的正数,求证：a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc
因为a、b、c是正数
由基本不等式有a^2+b^2≥2ab＞0
b^2+c^2≥2bc＞0
c^2+a^2≥2ac＞0
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)
≥a*2bc+b*2ac+c*2ab
=6abc
又因为a、b、c不全相等,所以上面三个式子不能同时成立
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)＞6abc
由基本不等式有a^2+b^2≥2ab＞0
b^2+c^2≥2bc＞0
c^2+a^2≥2ac＞0
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)
≥a*2bc+b*2ac+c*2ab
=6abc
又因为a、b、c不全相等,所以上面三个式子不能同时成立
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)＞6abc