作业帮求解微分方程：1=[f(1)-f(0)]*t^2+1/f'(x),要详细过程.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/25 03:57:11
求解微分方程：1=[f(1)-f(0)]*t^2+1/f'(x),要详细过程.
不好意思，题目打错了，应该是：1=[f(1)-f(0)]*x^2+1/f'(x)
不好意思，题目打错了，应该是：1=[f(1)-f(0)]*x^2+1/f'(x)
令f(1)-f(0)=A,原式化为：f'(x)=1/(1-Ax^2);
(1)若A≤0,可得(1-Ax^2)≥1>0,故f'(x)>0,f(x)在R上递增,这与f(1)0,可得f(x)=∫1/(1-Ax^2)dx+C=(1/2)*∫1/(1-√Ax)+1/(1+√Ax)dx+C=(1/2√A)*ln[(1+√Ax)/(1-√Ax)]+C;
令x=0,f(0)=C;
令x=1,f(1)=(1/2√A)*ln[(1+√A)/(1-√A)]+C;
代入f(1)-f(0)=A：（1/2√A)*ln[(1+√A)/(1-√A)]=A；…………（1）
令√A=t,(1)式化为：ln(1+t)-ln(1-t)-2t^3=0;
令F(t)=ln(1+t)-ln(1-t)-2t^3,易证F'(t)>0,且F(t)=0;
因此t=0,即A=0,这与A>0矛盾.
综上,原微分方程实数域内无解.
(1)若A≤0,可得(1-Ax^2)≥1>0,故f'(x)>0,f(x)在R上递增,这与f(1)0,可得f(x)=∫1/(1-Ax^2)dx+C=(1/2)*∫1/(1-√Ax)+1/(1+√Ax)dx+C=(1/2√A)*ln[(1+√Ax)/(1-√Ax)]+C;
令x=0,f(0)=C;
令x=1,f(1)=(1/2√A)*ln[(1+√A)/(1-√A)]+C;
代入f(1)-f(0)=A：（1/2√A)*ln[(1+√A)/(1-√A)]=A；…………（1）
令√A=t,(1)式化为：ln(1+t)-ln(1-t)-2t^3=0;
令F(t)=ln(1+t)-ln(1-t)-2t^3,易证F'(t)>0,且F(t)=0;
因此t=0,即A=0,这与A>0矛盾.
综上,原微分方程实数域内无解.
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