一条高三平面向量与椭圆结合的题目

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 04:52:32

设椭圆x²/a²+y²/b²=1,(a>b>0)的左右焦点分别为F₁,F₂,离心率e=(√2)/2,过F₁,F₂分别作直线L₁,L₂,且L₁⊥L₂,L₁,L₂分别交直线：x=(√2)a于M,N两点
（1）若向量︱F₁M|=向量︱F₂N|=2√5,求椭圆的方程
（2）证明：当|MN|取最小值,向量F₁M+向量F₂N与向量F1F₂共线
(1).设M的坐标为(√2a,p)；N的坐标为(√2a,q)；那么向量F₁M=(√2a+c,p)；向量F₂N
=(√2a-c,q)；其中c为半焦距,c²=a²-b²,c=ae=(√2/2)a,c²=a²/2.
∵F₁M⊥F₂N,
∴F₁M•F₂N=(√2a+c)(√2a-c)+pq=2a²-c²+pq=(3/2)a²+pq=(1/2)(3a²+2pq)=0
即有3a²+2pq=0,故有2pq=-3a².(1)
又︱F₁M|= ︱F₂N|=2√5；
故有(√2a+c)²+p²=(9/2)a²+p²=20.(2)
(√2a-c)²+q²=(1/2)a²+q²=20.(3)
(2)+(3)得p²+q²=40-5a².(4)
(2)-(3)得p²-q²=-4a².(5)
(4)+(5)得2p²=40-9a²,故p=√[(40-9a²)/2]
(4)-(5)得2q²=40-a²,故q=-√[(40-a²)/2] (q0,q

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