作业帮用导数求面积最大问题!
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 12:13:21
用导数求面积最大问题!
在高为H,底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体,则圆柱体的半径r为多大时,圆柱体的表面积最大,最大为多少
在高为H,底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体,则圆柱体的半径r为多大时,圆柱体的表面积最大,最大为多少
如图,
设圆柱体的高是h
则 r/R=(H-h)/H
∴ H-h=rH/R
即 h=H-rH/R=(1-r/R)H
∴ 圆柱的侧面积=2πr*h=2π*r*(1-r/R)H
又圆柱的底面积是π*r²
∴ 表面积=2π*r²+2π*r*(1-r/R)H=S(r)
则S(r)=2πr²+2πr*H-2πr²*(H/R) 0<r<R
则S'(r)=4πr(1-H/R)+2πH
（1）H≤R时,
S'(r)>0
则S(r)是增函数,
没有最大值.
（2）H>R
S'(r)=0
则 r=-H/(2-2H/R)=HR/(2H-2R)
则r>HR/(2H-2R)时,S'(r)<0,S(r)单调递减
r<HR/(2H-2R)时,S'(r)>0,S(r)单调递增
∴ r=HR/(2H-2R)时,
S有最大值.
代入后,最大值是：πH²R/[2(H-R)]