作业帮初中数学武汉竞赛题.打酱油的别来好吗
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 23:18:08
初中数学武汉竞赛题.打酱油的别来好吗
是前几年武【汉】竞赛的题目
如图,已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD.求证：AB=AC
是前几年武【汉】竞赛的题目
证明:
因为AB+CD=AC+BD,
所以(AB+CD)^2=(AC+BD)^2,
即AB^2+2AB*CD+CD^2=AC^2+2AC*BD+BD^2(1)
又在直角三角形ABD中,勾股定理,得,AB^2=AD^2+BD^2
在直角三角形ACD中,勾股定理,得,AC^2=AD^2+CD^2
代入(1),
AD^2+BD^2+2AB*CD+CD^2=AD^2+CD^2+2AC*BD+BD^2,
整理,
2AB*CD=2AC*BD,
AB*CD=AC*BD
所以AB/BD=AC/CD,
由角平分线性质定理,得,
AD平分∠BAC,
所以△ABC是等腰三角形
所以AB=AC
因为AB+CD=AC+BD,
所以(AB+CD)^2=(AC+BD)^2,
即AB^2+2AB*CD+CD^2=AC^2+2AC*BD+BD^2(1)
又在直角三角形ABD中,勾股定理,得,AB^2=AD^2+BD^2
在直角三角形ACD中,勾股定理,得,AC^2=AD^2+CD^2
代入(1),
AD^2+BD^2+2AB*CD+CD^2=AD^2+CD^2+2AC*BD+BD^2,
整理,
2AB*CD=2AC*BD,
AB*CD=AC*BD
所以AB/BD=AC/CD,
由角平分线性质定理,得,
AD平分∠BAC,
所以△ABC是等腰三角形
所以AB=AC