作业帮幂级数证明题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 02:59:12
幂级数证明题
(1) a_n+a_(n+2) = (-1)^n·∫{π/4,π/2} (cot(x)^n+cot(x)^(n+2))dx = (-1)^n·∫{π/4,π/2} cot(x)^n/sin²(x)dx
= (-1)^n·∫{π/4,π/2} -cot(x)^n·(cot(x))'dx = (-1)^n/(n+1)
是绝对值递减趋于0的交错级数,由Leibniz判别法,级数收敛.
(2) 由上面的计算,0 < |a_n| = ∫{π/4,π/2} cot(x)^n dx < 1/n.
∑{1≤n≤∞} |a_n|/n^λ被收敛级数∑{1≤n≤∞} 1/n^(1+λ)逐项控制,故∑{1≤n≤∞} a_n/n^λ绝对收敛.
再问： 第一小题看懂了 第二问的∑{1≤n≤∞} |a_n|/n^λ被收敛级数∑{1≤n≤∞} 1/n^(1+λ)逐项控制 这个步骤是什么意思啊？
再答： 就是用比较判别法. ∑{1≤n≤∞} 1/n^(1+λ)是收敛的, 而|a_n|/n^λ < 1/n^(1+λ), 所以∑{1≤n≤∞} |a_n|/n^λ也是收敛的.
= (-1)^n·∫{π/4,π/2} -cot(x)^n·(cot(x))'dx = (-1)^n/(n+1)
是绝对值递减趋于0的交错级数,由Leibniz判别法,级数收敛.
(2) 由上面的计算,0 < |a_n| = ∫{π/4,π/2} cot(x)^n dx < 1/n.
∑{1≤n≤∞} |a_n|/n^λ被收敛级数∑{1≤n≤∞} 1/n^(1+λ)逐项控制,故∑{1≤n≤∞} a_n/n^λ绝对收敛.
再问： 第一小题看懂了 第二问的∑{1≤n≤∞} |a_n|/n^λ被收敛级数∑{1≤n≤∞} 1/n^(1+λ)逐项控制 这个步骤是什么意思啊？
再答： 就是用比较判别法. ∑{1≤n≤∞} 1/n^(1+λ)是收敛的, 而|a_n|/n^λ < 1/n^(1+λ), 所以∑{1≤n≤∞} |a_n|/n^λ也是收敛的.