作业帮微分方程那一章的计算题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 08:59:35
微分方程那一章的计算题
先解微分方程.
对应齐次方程的特征方程为r^2-2r+5=0
解得r=1-2i,r=1+2i
故齐次方程的通解为y=e^x(C1cos2x+C2cos2x)
对于原方程,f(x)=e^xcos2x属于e^(λx)[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型,
其中λ=1,ω=2,Pl(x)=1,Pn(x)=0,λ+ωi是特征方程的根
所以特解可设为y*=xe^x(acos2x+bsin2x)
代回原方程,得y'=e^x[(ax+2bx+a)cos2x+(-2ax+bx+b)sin2x]
y''=e^x[(-3ax+4bx+2a+2b)cos2x+(-4ax-3bx-4a+2b)sin2x]
e^x(2bcos2x-4asin2x)=e^xcos2x
b=1/2,a=0
所以原方程的通解为y=e^x[C1cos2x+(C2+x/2)sin2x]
y'=e^x[(C1+2C2+x)cos2x+(-2C1+C2+x/2+1/2)sin2x]
因为x=0时y=0,y'=-1/2
代入得C1=0,C2=-1/4
故所求曲线方程为y=e^x(x/2-1/4)sin2x
对应齐次方程的特征方程为r^2-2r+5=0
解得r=1-2i,r=1+2i
故齐次方程的通解为y=e^x(C1cos2x+C2cos2x)
对于原方程,f(x)=e^xcos2x属于e^(λx)[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型,
其中λ=1,ω=2,Pl(x)=1,Pn(x)=0,λ+ωi是特征方程的根
所以特解可设为y*=xe^x(acos2x+bsin2x)
代回原方程,得y'=e^x[(ax+2bx+a)cos2x+(-2ax+bx+b)sin2x]
y''=e^x[(-3ax+4bx+2a+2b)cos2x+(-4ax-3bx-4a+2b)sin2x]
e^x(2bcos2x-4asin2x)=e^xcos2x
b=1/2,a=0
所以原方程的通解为y=e^x[C1cos2x+(C2+x/2)sin2x]
y'=e^x[(C1+2C2+x)cos2x+(-2C1+C2+x/2+1/2)sin2x]
因为x=0时y=0,y'=-1/2
代入得C1=0,C2=-1/4
故所求曲线方程为y=e^x(x/2-1/4)sin2x