设数列{a n }{b n }的各项都是正数，S n 为数列{a n }的前n项和，且对任意n∈N * ．都有 a n

（1）因为a _n ＞0， a n 2 =2 S n - a n ，①
当n=1时， a 1 2 =2 S 1 - a 1 ，解得a ₁ =1；                                 
当n≥2时，有
a 2n-1 =2 S n-1 - a n-1 ，②
由①-②得， a n 2 -
a 2n-1 =2( S n - S n-1 )-( a n - a n-1 )= a n + a n-1 ．
即（a _n +a _n-1 ）（a _n -a _n-1 ）=a _n +a _n-1 ．
因为a _n ＞0，所以a _n -a _n-1 =1（n≥2），即数列{a _n }是等差数列，
所以a _n =a ₁ +（n-1）d=1+n-1=n．
又因为 b n+1 = b n 2 ，且b _n ＞0，取自然对数得lnb _n+1 =2lnb _n ，
由此可知数列{lnb _n }是以lnb ₁ =lne=1为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ln b n =ln b 1 × 2 n-1 = 2 n-1 ，
所以 b n = e 2 n-1 ．
（2）由（1）知， c n = a n •ln b n =n• 2 n-1 ，
所以 T n =1× 2 0 +2× 2 1 +3× 2 2 +…+(n-1)× 2 n-2 +n× 2 n-1  ③
2× T n =1× 2 1 +2× 2 2 +3× 2 3 +…+(n-1)× 2 n-1 +n× 2 n   ④
由③-④得 - T n =1+2+ 2 2 +…+ 2 n-1 -n× 2 n ，
所以 T n =(n-1) 2 n +1 ．
（3）由a _n =n， a n 2 =2 S n - a n 得 S n =
n 2 +n
2 ，
由
5(n-1)
2 S n -1 ＜λ＜
4( T n -1)
(n-1)n(n+1) 可得
5(n-1)
n 2 +n-1 ＜λ＜
2 n+2
n(n+1) ，
即使得对于任意n∈N ^* 且n≥2，不等式
5(n-1)
2 S n -1 ＜λ＜
4( T n -1)
(n-1)n(n+1) 恒成立等价于使得对于
任意n∈N ^* 且n≥2，不等式
5(n-1)
n 2 +n-1 ＜λ＜
2 n+2
n(n+1) 恒成立．
∵
5(n-1)
n 2 +n-1 =
5
n+
2n-2+1
n-1 =
5
n+2+
1
n-1 ≤1，当n=2时取最大值是1 ．
又令 g(n)=
2 n+2
n(n+1) ，
由
g(n)≤g(n-1)
g(n)≤g(n+1)
可得

2 n+2
n(n+1) ≤
2 n+1
n(n-1)
2 n+2
n(n+1) ≤
2 n+3
(n+1)(n+2) ，
化简得：

2
n+1 ≤
1
n-1
1
n ≤
2
n+2 ，
解得2≤n≤3，所以当n=2或3时，g（n）取最小值，最小值为 g(2)=g(3)=
8
3 ，
所以λ=2时，原不等式恒成立．