数学归纳法不等式,求n最小值,3^n>n^4

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 15:13:32

数学归纳法不等式,求n最小值,3^n>n^4
3^n>n^4
3的n次方大于n的4次方
求n的最小值,并用数学归纳法验证

n=7
3^nn^4
设n=k时,k>=8
有3^k>k^4
则n=k+1时
3^(k+1)=3*3^k>3k^4
3k^4-(k+1)^4
=3k^4-(k²+2k+1)²
=(√3k²-k²-2k-1)(√3k²+k²+2k+1)
√3k²-k²-2k-1
=(√3-1)[k-1/(√3-1)]²-1/(√3-1)-1
=(√3-1)[k-(√3+1)/2]²-(√3+1)/2-1
=(√3-1)[k-(√3+1)]²-(√3+1)/2-1
k>=8,则定义域在对称轴k=(√3+1)/2右边, 是增函数
k=8,√3k²-k²-2k-1=64√3-81>0
所以k>=8,√3k²-k²-2k-1>0
√3k²+k²+2k+1
=(√3+1)[k+1/(√3+1)]²-1/(√3+1)+1
=(√3+1)[k-(-√3+1)/2]²-(√3+1)/2-1
=(√3+1)[k-(-√3+1)/2]²-(√3+1)/2-1
k>=8,则定义域在对称轴k=√3+1右边, 是增函数
k=8,√3k²+k²+2k+1=64√3+81>0
所以k>=8,√3k²+k²+2k+1>0
所以3k^4-(k+1)^4=(√3k²-k²-2k-1)(√3k²+k²+2k+1)>0
即n=k+1,3^(k+1)>(k+1)^4
综上
n>=8,3^n>n^4
所以n最小=8

用数学归纳法证明不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n 用数学归纳法证明不等式：1n 用数学归纳法证明不等式 2^n 数学归纳法证不等式1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n+1)>1 用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)＝n(n+1)(n+2)(n+3)4(n∈N 数学归纳法证明不等式(1/n+1)+(1/n+2)+.+(1/3n+1)＞25/24 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)＝(n+3)(n+4)2(n∈N 用数学归纳法证明1+4+7+...+(3n-2)=[n(3n-1)]/2 用数学归纳法证明当n>＝3时4^n>3n+10 用数学归纳法证明恒等式:1+2+3+...+n^2 = (n^4+n^2)/2 数学归纳法证明n大于等于4时,2^n>3n+1 求用数学归纳法证明：对于大于2的一切正整数n,下列不等式都成立