作业帮高二数学直接证明间接证明
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 06:56:15
高二数学直接证明间接证明
设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间【0,7】上只有f(1)=f(3)=0.证明：函数y=f(x)是非奇非偶函数
设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间【0,7】上只有f(1)=f(3)=0.证明：函数y=f(x)是非奇非偶函数
(反证法）证明：由f(2-x)=f(2+x).且f(7-x)=f(7+x).====》f(x)=f(4-x),且f(x)=f(14-x).===>f(4-x)=f(14-x).===>f(x)=f(x+10).因此,由题设可得:f(x)=f(4-x)=f(14-x)=f(x+10).且f(-x)=f(4+x)=f(14+x)=f(10-x).（一）若函数f(x)为偶函数,则有f(x)=f(-x).当x=3时,则有f(-3)=f(3)=0,又由f(x)=f(x+10),故f(-3)=f(-3+10)=f(7).===>f(7)=0.这与题设“在[0,7]上仅有f(1)=f(3)=0矛盾.故函数f(x)不能为偶函数.（二）若函数f(x)为奇函数,则有f(x)+f(-x)=0.当x=0时,有f(0)=0,也与题设矛盾,综上可知,函数f(x)是非奇非偶函数.