作业帮求解一道关于双曲线的题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/19 03:33:32
求解一道关于双曲线的题
过原点的直线l与双曲线4分之X方-3分之Y方=1 相交于两点,则l取值范围为?
过原点的直线l与双曲线4分之X方-3分之Y方=1 相交于两点,则l取值范围为?
由题意得 a = 2 , b = sqrt(3)
其中 sqrt(a) 表示 a 的二次方根
双曲线渐近线方程为 y = sqrt(3)/2 * x 与 y = -sqrt(3)/2 * x
当 l 的 斜率 k 在 (-sqrt(3)/2 , sqrt(3)/2) 以内时,l 与双曲线相交于两点；
当 k > sqrt(3)/2 或 k < -sqrt(3)/2 时 l 与双曲线无交点；
当 k = sqrt(3)/2 或 -sqrt(3)/2 时 l 为渐近线,也与双曲线无交点.
故 所求为 (-sqrt(3)/2 , sqrt(3)/2).
如果要写过程,可以再附上一个图,由图易知此结果.
补充一个解法：使用方程联立,用delta：
设l的方程为y=kx,
由 l 与双曲线方程联立得
3x^2-4(kx)^2=12
=> (3-4k^2)x^2-12=0
因为有两个交点,所以此方程有两解.
讨论x二次项系数：若 3-4k^2=0 即 k = sqrt(3)/2 或 -sqrt(3)/2 时
原方程化为 -12=0 无解.
故k不取上述值,3-4k^2非零.
又方程有两根,所以 delta = 0+4*12*(3-4k^2) > 0
解得 k 的取值范围为 (-sqrt(3)/2 , sqrt(3)/2).
其中 sqrt(a) 表示 a 的二次方根
双曲线渐近线方程为 y = sqrt(3)/2 * x 与 y = -sqrt(3)/2 * x
当 l 的 斜率 k 在 (-sqrt(3)/2 , sqrt(3)/2) 以内时,l 与双曲线相交于两点；
当 k > sqrt(3)/2 或 k < -sqrt(3)/2 时 l 与双曲线无交点；
当 k = sqrt(3)/2 或 -sqrt(3)/2 时 l 为渐近线,也与双曲线无交点.
故 所求为 (-sqrt(3)/2 , sqrt(3)/2).
如果要写过程,可以再附上一个图,由图易知此结果.
补充一个解法：使用方程联立,用delta：
设l的方程为y=kx,
由 l 与双曲线方程联立得
3x^2-4(kx)^2=12
=> (3-4k^2)x^2-12=0
因为有两个交点,所以此方程有两解.
讨论x二次项系数：若 3-4k^2=0 即 k = sqrt(3)/2 或 -sqrt(3)/2 时
原方程化为 -12=0 无解.
故k不取上述值,3-4k^2非零.
又方程有两根,所以 delta = 0+4*12*(3-4k^2) > 0
解得 k 的取值范围为 (-sqrt(3)/2 , sqrt(3)/2).