已知abc∈正整数,abc=1,且a(1+c)>1,b(1+a)>1,c(1+b)>1试证2(a+b+c)≥1/a +
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/04 18:43:10
已知abc∈正整数,abc=1,且a(1+c)>1,b(1+a)>1,c(1+b)>1试证2(a+b+c)≥1/a + 1/b+ 1/c +3
已知a, b, c > 0, abc = 1, 且a(1+c) > 1, b(1+a) > 1, c(1+b) > 1.
求证: 2(a+b+c) ≥ 1/a+1/b+1/c+3.
由a, b, c > 0, abc = 1, 可设a = x/y, b = y/z, c = z/x, 其中x, y, z > 0.
所证不等式变为2(x/y+y/z+z/x) ≥ y/x+z/y+x/z+3.
等价于2(x²z+y²x+z²y) ≥ x²y+y²z+z²x+3xyz.
将a = x/y, c = z/x代入a(1+c) > 1得x+z > y (y > 0), 即x-y+z > 0.
同理, 分别由b(1+a) > 0与c(1+b) > 0可得y-z+x > 0, z-x+y > 0.
于是4(x²z+y²x+z²y)-2(x²y+y²z+z²x)-6xyz = (x-y+z)(x-y)²+(y-z+x)(y-z)²+(z-x+y)(z-x)² ≥ 0.
即有2(x²z+y²x+z²y) ≥ x²y+y²z+z²x+3xyz.
注: 最后配方这一步略显突兀, 实际上是根据等号成立条件和已知条件凑出来的.
求证: 2(a+b+c) ≥ 1/a+1/b+1/c+3.
由a, b, c > 0, abc = 1, 可设a = x/y, b = y/z, c = z/x, 其中x, y, z > 0.
所证不等式变为2(x/y+y/z+z/x) ≥ y/x+z/y+x/z+3.
等价于2(x²z+y²x+z²y) ≥ x²y+y²z+z²x+3xyz.
将a = x/y, c = z/x代入a(1+c) > 1得x+z > y (y > 0), 即x-y+z > 0.
同理, 分别由b(1+a) > 0与c(1+b) > 0可得y-z+x > 0, z-x+y > 0.
于是4(x²z+y²x+z²y)-2(x²y+y²z+z²x)-6xyz = (x-y+z)(x-y)²+(y-z+x)(y-z)²+(z-x+y)(z-x)² ≥ 0.
即有2(x²z+y²x+z²y) ≥ x²y+y²z+z²x+3xyz.
注: 最后配方这一步略显突兀, 实际上是根据等号成立条件和已知条件凑出来的.
已知A.B.C都是有理数,且满足\A\/A+\B\B+\C\/C=1,求ABC/\ABC\=
已知a、b、c都是有理数,且满足|a|/a+|b|/b+||c|/c=1,求代数式abc/|abc|
已知a,b,c都是有理数 且满足a/|a|+b/|b|+c/|c|=1,求代数式|abc|/abc
已知a≥b≥c,a+b+c=1,abc>0,且a³-2a²+a-2≥0,求|a|+|b|+|c
已知a+b+c=0且abc≠0,求a(1b+1c)+b(1a+1c)+c(1a+1b)+2
已知abc都是有理数,且满足a/|a|+b/|b|+c/|c|=1,求代数式|abc|/abc的直
已知abc都是有理数,且满足|a|/a+|b|/b+|c|/c=1,求abc/|abc|的值
已知abc为正数,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
已知abc属于正实数 且abc=1 求证(a+b)(b+c)(c+a)≥8
1.a、b、c是有理数,且(|a|/a)+(|b|/b)+(|c|+c)=1,求|abc|/abc的值.
若a.b.c为有理数,且|a|/a+|b|/b+|c|/c=-1,求abc/|abc|的值
a b c为有理数 且a/|a|+b/|b|+c/|c|=-1 求abc/|abc| 的值,为什么?