作业帮如何答好立体几何的问题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：政治作业 时间：2024/04/30 07:50:25
如何答好立体几何的问题
1 重视基础知识教学
立体几何的基础知识是它的基本概念、公理、定理和方法,尽管立几概念、公理所概括的事物及其关系广泛地存在于实际生活中,但由于数学化的立几概念太抽象,与实际的感受有较大的距离,所以在立几教学的开始阶段是有一定的困难的,克服困难的办法是要遵循教学的规律,使立体几何基础知识教学尽可能与学生的认知过程靠近,注重直观思维的作用,并且逐步把直观思维引导到分析思维,从而达到对基础知识本质的理解.
立几的概念、公理、定理是立几教学的核心内容,是基础知识的起点,是逻辑推理、判断的依据,是正确、合理计算的基本保证,基础知识的教学,应注意交给学生规律性的知识与知识的规律,使其对知识的掌握条理分明,系统严谨,达到“招之即来”,“来之即用”.这样既可使学生对立几知识正确理解,又可以培养学生阅读和自觉钻研的精神,这在立几入门教学中,显得特别重要.例如,如果学生对立几中的几个公理认识模糊,很难想象以后怎样学习下去.
2 平面观念向空间观念的转换
1空间想象能力的培养
想象是一种特殊的思维活动,是人脑在感性形象的基础上创造出新形象的心理过程.在想象中,人脑中所出现的形象,并不是感知过的事物形象简单地重现,而是新事物形象的形成.几何中的空间想象力是指对事物的形状、结构、大小、位置关系的想象力.
想象也是客观现实在人头脑中的一种反映.因此,培养学生空间想象力首先要使学生学好有关空间的基础知识.我们知道,一个建筑设计师能够想象设计出未曾建造过的建筑物,主要是由于建筑师不仅具有丰富的建筑物感性认识,而且还具有建筑物的理性知识.所以学生学好有关空间形式的几何知识是提高学生空间想象力而具有理性认识的根本.
我们认为立体几何所研究的空间是人们生活在其中的空间.就几何学的对象来说,立体几何里的空间是一维、二维、三维空间,即直线、平面、立体图形所反映的现实空间;就几何理论体系来说,立体几何的空间是指欧几里德的几何空间.立体几何领域中还研究其它抽象空间或高于三维的空间,但当前还未列入立体几何的范围.所以,立体几何中所谓空间想象力,是指人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创造的能力.
在立体几何教学中培养学生空间想象力、主要包括下面五个方面:(1)对几何中直线、平面、空间的基本几何图形的形状、结构、性质、关系非常熟悉,能正确画图,能离开实物或图形在思维中识记,重现基本图形的形状和结构,并能分析图形的基本元素之间的度量关系和位置关系;(2)能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系;(3)能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系;(4)有熟练的识图能力,即能从较复杂的图形中区分出基本图形,能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系;(5)能根据几何图形性质通过思考创造出合乎一定条件,性质的几何图形.
显然,上述几方面的能力都以观察、分析、认识图形性质的能力和画图能力为基础.但是认识图形性质的能力和画图能力却不单纯是空间想象力.它和一般能力,其它方面的几何能力以及使用画图工具的技巧都有关系.因此,培养学生空间想象力也要考虑各方面的因素,互相配合,才能得到好的效果.
2逻辑推理能力的培养
立体几何的研究方法与平面几何的研究方法类似,即依据公理,运用逻辑推理方法,这就要求初学立体几何的学生要重视逻辑推理能力的培养,学生在开始学习立体几何的证明过程中,常常会出现以下两种错误：一个是由学生逻辑推理能力差而导致的证明思路上的错误；另一个是由学生语言表达能力差而导致的证题的书面表达上的错误.例如,公理3的推论1:“经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.”学生们常常这样来证明这个推论：A是直线a外一点.在a上任取两点B、C,则A、B、C三点不共线.根据公理3,经过不公线三点A、B、C有且仅有一个平面ɑ,又点B、C都在平面ɑ内,所以根据公理1,直线a在平面ɑ内,即过直线a和点A有且只有一个平面.当然这样证明是不全对的,事实上,上面的证明过程中有这样一个逻辑错误：即先承认过A、B、C三点的平面构成的集合与过直线a和点A的平面构成的集合是两个相等的集合,从而由第一个集合有且仅有一个元素导出第二个集合有且只有一个元素.正确的逻辑推理应该是这样的：先证明上面的第二个集合包含于第一个集合,从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合最多有一个元素；其次证明第二个集合集合确实有一个元素,最后得出第二个集合有且只有一个元素的结论.
由此不难看出要学好立体几何的基础知识,必须要注重逻辑推理能力的培养.为此,初学立体几何的学生要重视看起来简单的那些基本概念、公理和定理,不仅要理解它们,还要熟练地记忆它们,掌握它们之间的联系,同时对基础的题目必须从一开始就认真地书写证明过程,包括已知、求证、证明、作图等等.证明过程要特别注意所运用的公理、定理的条件要充分、准确.另外,对课本上的定理必须掌握其证明的逻辑推理过程及渗透的数学思想方法.
立体几何的基础知识是它的基本概念、公理、定理和方法,尽管立几概念、公理所概括的事物及其关系广泛地存在于实际生活中,但由于数学化的立几概念太抽象,与实际的感受有较大的距离,所以在立几教学的开始阶段是有一定的困难的,克服困难的办法是要遵循教学的规律,使立体几何基础知识教学尽可能与学生的认知过程靠近,注重直观思维的作用,并且逐步把直观思维引导到分析思维,从而达到对基础知识本质的理解.
立几的概念、公理、定理是立几教学的核心内容,是基础知识的起点,是逻辑推理、判断的依据,是正确、合理计算的基本保证,基础知识的教学,应注意交给学生规律性的知识与知识的规律,使其对知识的掌握条理分明,系统严谨,达到“招之即来”,“来之即用”.这样既可使学生对立几知识正确理解,又可以培养学生阅读和自觉钻研的精神,这在立几入门教学中,显得特别重要.例如,如果学生对立几中的几个公理认识模糊,很难想象以后怎样学习下去.
2 平面观念向空间观念的转换
1空间想象能力的培养
想象是一种特殊的思维活动,是人脑在感性形象的基础上创造出新形象的心理过程.在想象中,人脑中所出现的形象,并不是感知过的事物形象简单地重现,而是新事物形象的形成.几何中的空间想象力是指对事物的形状、结构、大小、位置关系的想象力.
想象也是客观现实在人头脑中的一种反映.因此,培养学生空间想象力首先要使学生学好有关空间的基础知识.我们知道,一个建筑设计师能够想象设计出未曾建造过的建筑物,主要是由于建筑师不仅具有丰富的建筑物感性认识,而且还具有建筑物的理性知识.所以学生学好有关空间形式的几何知识是提高学生空间想象力而具有理性认识的根本.
我们认为立体几何所研究的空间是人们生活在其中的空间.就几何学的对象来说,立体几何里的空间是一维、二维、三维空间,即直线、平面、立体图形所反映的现实空间;就几何理论体系来说,立体几何的空间是指欧几里德的几何空间.立体几何领域中还研究其它抽象空间或高于三维的空间,但当前还未列入立体几何的范围.所以,立体几何中所谓空间想象力,是指人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创造的能力.
在立体几何教学中培养学生空间想象力、主要包括下面五个方面:(1)对几何中直线、平面、空间的基本几何图形的形状、结构、性质、关系非常熟悉,能正确画图,能离开实物或图形在思维中识记,重现基本图形的形状和结构,并能分析图形的基本元素之间的度量关系和位置关系;(2)能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系;(3)能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系;(4)有熟练的识图能力,即能从较复杂的图形中区分出基本图形,能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系;(5)能根据几何图形性质通过思考创造出合乎一定条件,性质的几何图形.
显然,上述几方面的能力都以观察、分析、认识图形性质的能力和画图能力为基础.但是认识图形性质的能力和画图能力却不单纯是空间想象力.它和一般能力,其它方面的几何能力以及使用画图工具的技巧都有关系.因此,培养学生空间想象力也要考虑各方面的因素,互相配合,才能得到好的效果.
2逻辑推理能力的培养
立体几何的研究方法与平面几何的研究方法类似,即依据公理,运用逻辑推理方法,这就要求初学立体几何的学生要重视逻辑推理能力的培养,学生在开始学习立体几何的证明过程中,常常会出现以下两种错误：一个是由学生逻辑推理能力差而导致的证明思路上的错误；另一个是由学生语言表达能力差而导致的证题的书面表达上的错误.例如,公理3的推论1:“经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.”学生们常常这样来证明这个推论：A是直线a外一点.在a上任取两点B、C,则A、B、C三点不共线.根据公理3,经过不公线三点A、B、C有且仅有一个平面ɑ,又点B、C都在平面ɑ内,所以根据公理1,直线a在平面ɑ内,即过直线a和点A有且只有一个平面.当然这样证明是不全对的,事实上,上面的证明过程中有这样一个逻辑错误：即先承认过A、B、C三点的平面构成的集合与过直线a和点A的平面构成的集合是两个相等的集合,从而由第一个集合有且仅有一个元素导出第二个集合有且只有一个元素.正确的逻辑推理应该是这样的：先证明上面的第二个集合包含于第一个集合,从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合最多有一个元素；其次证明第二个集合集合确实有一个元素,最后得出第二个集合有且只有一个元素的结论.
由此不难看出要学好立体几何的基础知识,必须要注重逻辑推理能力的培养.为此,初学立体几何的学生要重视看起来简单的那些基本概念、公理和定理,不仅要理解它们,还要熟练地记忆它们,掌握它们之间的联系,同时对基础的题目必须从一开始就认真地书写证明过程,包括已知、求证、证明、作图等等.证明过程要特别注意所运用的公理、定理的条件要充分、准确.另外,对课本上的定理必须掌握其证明的逻辑推理过程及渗透的数学思想方法.