作业帮利用Roll定理构造函数
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 15:52:36
利用Roll定理构造函数
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证：
(1)存在η∈(0.5,1)使得f(η)=η
(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1（这里的η是第一问的η）
第一问用介值定理容易证出来,请问第二问怎么证明?
我构造了函数Φ'(ξ)=e^-λξ{f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1}=0,但怎么求积分?
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证：
(1)存在η∈(0.5,1)使得f(η)=η
(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1（这里的η是第一问的η）
第一问用介值定理容易证出来,请问第二问怎么证明?
我构造了函数Φ'(ξ)=e^-λξ{f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1}=0,但怎么求积分?
第二问你设g(x)=f(x)-x
就化为了 g'(ξ)-λg(ξ)=0 积分一下就是g(ξ)e^(-λξ) 设为Φ(ξ).Φ(0)=Φ(η)=0,故存在 Φ'(ξ)=0.
再问： 我不会积诶。。
再答： g'(ξ)-λg(ξ)=0 这种形式。。你就记 y'+ky=0 ,两边乘以e^kx，积分。 y*e^kx对x求导的结果你算算看
再问： 我不会微分方程。。
再答： y(x)*(e^kx) 这个东西对x求导，就可以出来y'+ky。。这也不算微分方程求解，你并没有要解他啊，只是把他的原函数求出来应用roll定理。
再问： 是不是y'+ky=0形式的方程积分结果为yke^(ky)+C?
再答： e^kx（ y'+ky）的积分结果是 y * e^(kx) +C 。注意我前面说了，两边先乘以e^kx，因为右边是0所以没关系、 e指数上的是x
再问： 为什么不是C*y*e^(kx)?
再答： 。。。C*y*e^(kx)求导前面不是会多乘一个C吗。。当然你两边除掉他也无所谓。。这里只要求一个原函数就行了
就化为了 g'(ξ)-λg(ξ)=0 积分一下就是g(ξ)e^(-λξ) 设为Φ(ξ).Φ(0)=Φ(η)=0,故存在 Φ'(ξ)=0.
再问： 我不会积诶。。
再答： g'(ξ)-λg(ξ)=0 这种形式。。你就记 y'+ky=0 ,两边乘以e^kx，积分。 y*e^kx对x求导的结果你算算看
再问： 我不会微分方程。。
再答： y(x)*(e^kx) 这个东西对x求导，就可以出来y'+ky。。这也不算微分方程求解，你并没有要解他啊，只是把他的原函数求出来应用roll定理。
再问： 是不是y'+ky=0形式的方程积分结果为yke^(ky)+C?
再答： e^kx（ y'+ky）的积分结果是 y * e^(kx) +C 。注意我前面说了，两边先乘以e^kx，因为右边是0所以没关系、 e指数上的是x
再问： 为什么不是C*y*e^(kx)?
再答： 。。。C*y*e^(kx)求导前面不是会多乘一个C吗。。当然你两边除掉他也无所谓。。这里只要求一个原函数就行了