存在无数多个除4余1的质数吗
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 15:44:09
存在无数多个除4余1的质数吗
要写出证明
要写出证明
假设4n+1型的质数只有有限个,以p1,p2,...pk记之.
考虑数P=4*p1^2*p2^2*...*pk^2+1=x^2+1,
若P=4k+1是质数,则P明显大于任一pi,i=1,2,...,k,此乃一矛盾;
若P是合数,则不妨设p是其一质因子,知p是奇数,且p不同于pi,i=1,2,...,k.
又因为P=x^2+1,所以x^2≡-1(modp),x^(p-1)≡(-1)^[(p-1)/2](modp);而由费马小定理知,x^(p-1)≡ 1(modp).
所以,(-1)^[(p-1)/2]=1,故p是4n+1型质数,也是矛盾的.
其实你问的3个问题就是狄利克莱定理的特殊形式.
狄利克莱定理:对于任意互质的正整数a,d,有无限多个质数的形式如a + nd,其中n为正整数.
考虑数P=4*p1^2*p2^2*...*pk^2+1=x^2+1,
若P=4k+1是质数,则P明显大于任一pi,i=1,2,...,k,此乃一矛盾;
若P是合数,则不妨设p是其一质因子,知p是奇数,且p不同于pi,i=1,2,...,k.
又因为P=x^2+1,所以x^2≡-1(modp),x^(p-1)≡(-1)^[(p-1)/2](modp);而由费马小定理知,x^(p-1)≡ 1(modp).
所以,(-1)^[(p-1)/2]=1,故p是4n+1型质数,也是矛盾的.
其实你问的3个问题就是狄利克莱定理的特殊形式.
狄利克莱定理:对于任意互质的正整数a,d,有无限多个质数的形式如a + nd,其中n为正整数.
存在无穷多个除4余1的素数吗?请证明
设n为一个正整数.证明存在无穷多个被n除余1的质数.
1个数除5余3,除6余4,除7余1,这样的3位数有几个? 答案为一共有5个.
某数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,满足以上条件有多少个,求最小的一个
除2和3外其余的质数除以6余数都余1或5.
质数的平方有几个因数.A.2B.3C.4D.无数个
求被4除余1,被5除余1,被6除余1的最小自然数
被3除余1,被7除余5,被11除余4的最小自然数
一个数除5余3,除6余4,除7余1,这样的3位数有几个
被4除余1,被5除余1,被6除余1,被7除余1的最小自然数是几
已知m是被3除余1,被7除余5,被11除余4的最小自然数,则m被4除余多少?
一个数,被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,问符合条件的最小数.