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在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB,⊥BC,∠BCD与∠ADC的角平分线交于AB上的一点,以AB为直径画圆,圆与CD

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 01:39:14
在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB,⊥BC,∠BCD与∠ADC的角平分线交于AB上的一点,以AB为直径画圆,圆与CD有
怎样的位置关系?
精确地画一张图就可以知道,圆与CD相切.
证明:
设角平分线的交点为O,由于∠ADC和∠BCD互为补角,所以∠ODC和∠OCD互为余角,进而证明∠COD=90°.
作△COD斜边上的中线OE,即DE=CE,则OE=CE,进而∠EOC=∠ECO=∠BCO(内错角相等),所以OE∥BC.而E是CD中点,所以O必然是AB中点.以AB为直径画圆,圆心一定是O点.
作OF⊥CD,则∠DOF=∠DOC(都跟∠ODC互为余角),而∠AOD=∠BOC(都跟∠BOC互为余角),∠BOC=∠DOC,最终证明∠DOF=∠AOD.再加上∠OAD=∠OFD=90°,OD是公共边,证明△OAD≌△OFD,进而证明OA=OF.这样,以AB为直径(即以OB为半径)的圆一定过点F,即OF是圆O的一条半径.而OF⊥CD,证明圆O与CD相切.