作业帮什么是凸二次规划
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 02:23:38
什么是凸二次规划
二次规划（Quadratic programming）,在运筹学当中,是一种特殊类型的最佳化问题.
[编辑] 简介二次规划问题可以以下形式来描述：
f(x) = (1 / 2)xTQx + cTx
受到一个或更多如下型式的限制条件：
Ex = d
vT 是 v 的转置.
如果Q是半正定矩阵,那么f(x)是一个凸函数.如果有至少一个向量x满足约束而且f(x)在可行域有下界,二次规划问题就有一个全局最小值x.如果Q是正定矩阵,那么全局最小值就是唯一的.如果Q=0,二次规划问题就变成线性规划问题.
根据优化理论,一个点x 成为全局最小值的必要条件是满足 Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件.当f(x)是凸函数时,KKT条件也是充分条件.
当二次规划问题只有等式约束时,二次规划可以用线性方程求解.否则的话,常用的二次规划解法有：内点法(interior point)、active set和共轭梯度法等.凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例.
[编辑] 对偶每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题.我们以正定矩阵Q为例：
L(x,λ) = (1 / 2)xTQx + λT(Ax − b) + cTx
对偶问题g(λ),可定义为
我们可用 :得到L的极小
x * = − Q − 1(ATλ + c),
对偶函数：
g(λ) = − (1 / 2)λTAQ − 1ATλ − cTQ − 1ATλ − bTλ
对偶问题为：
maximize :− (1 / 2)λTAQ − 1ATλ − (ctQ − 1AT + bT)λ
subject to :
计算复杂性当Q正定时,用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题.当Q负定时,二次规划问题是NP困难的(NP-Hard).即使Q 存在一个负特征值时,二次规划问题就是NP困难的.
[编辑] 简介二次规划问题可以以下形式来描述：
f(x) = (1 / 2)xTQx + cTx
受到一个或更多如下型式的限制条件：
Ex = d
vT 是 v 的转置.
如果Q是半正定矩阵,那么f(x)是一个凸函数.如果有至少一个向量x满足约束而且f(x)在可行域有下界,二次规划问题就有一个全局最小值x.如果Q是正定矩阵,那么全局最小值就是唯一的.如果Q=0,二次规划问题就变成线性规划问题.
根据优化理论,一个点x 成为全局最小值的必要条件是满足 Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件.当f(x)是凸函数时,KKT条件也是充分条件.
当二次规划问题只有等式约束时,二次规划可以用线性方程求解.否则的话,常用的二次规划解法有：内点法(interior point)、active set和共轭梯度法等.凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例.
[编辑] 对偶每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题.我们以正定矩阵Q为例：
L(x,λ) = (1 / 2)xTQx + λT(Ax − b) + cTx
对偶问题g(λ),可定义为
我们可用 :得到L的极小
x * = − Q − 1(ATλ + c),
对偶函数：
g(λ) = − (1 / 2)λTAQ − 1ATλ − cTQ − 1ATλ − bTλ
对偶问题为：
maximize :− (1 / 2)λTAQ − 1ATλ − (ctQ − 1AT + bT)λ
subject to :
计算复杂性当Q正定时,用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题.当Q负定时,二次规划问题是NP困难的(NP-Hard).即使Q 存在一个负特征值时,二次规划问题就是NP困难的.