作业帮已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/30 02:11:20
已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：
| ln2
（Ⅰ）a=1时，f（x）=|x-1|-lnx （x＞0）
当0＜x≤1，f（x）=1-（x+lnx），f′（x）=-1- 1 x＜0，所以f（x）在（0，1]上单调递减； 当x＞1，f（x）=x-（1+lnx），f′（x）=1- 1 x= x−1 x＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴x=1时，f（x）的最小值为f（1）=0； （Ⅱ）若a≥1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1- 1 x= x−1 x≥0，∴f（x）在区间[a，+∞）上单调递增； 当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1- 1 x＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减； 若0＜a＜1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1- 1 x= x−1 x，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0 ∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，（a，1）上单调递减； 当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1- 1 x＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减； 而f（x）在x=a处连续，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，（0，1）上单调递减 综上，当a≥1时，f（x）的递增区间是（a，+∞），递减区间是（0，a）；当0＜a＜1时，f（x）的递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）； （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知，当a=1，x＞1时，f（x）≥0，∴1-（x+lnx）≥0，∴lnx≤x-1． ∵x＞0，∴ lnx x≤1− 1 x ∵n∈N+，n≥2，令x=n2，得 lnn n2≤ 1 2(1− 1 n2)， ∴ ln2 22+ ln3 32+…+ lnn n2≤ 1 2（1- 1 22+1- 1 32+…+1- 1 n2） = 1 2[n-1-（ 1 22 |