作业帮用定义求a^x的导数
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/27 18:10:15
用定义求a^x的导数
(a^x)' = lim[a^(x+⊿x)-a^x]/⊿x
= lima^x[a^(⊿x)-1]/⊿x
= lima^x[e^(⊿xlna)-1]/⊿x
= lima^x(⊿xlna)/⊿x
= lima^xlna
再问： 第3步怎么到第4步的
再答： e^(⊿xlna)-1 用等价无穷小 ⊿xlna 代换
再问： 怎么才算等价
再问： 是不是随意一个无穷小都可以
再答： 请看教科书上无穷小的比较一节。
无穷小有高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
两个无穷小比值的极限等于1 时，才是等价无穷小。
例如 sinx~x， tanx~x， 1-cosx~x^2/2, e^x-1~x, lnx~x.
这里用的就是 e^x-1~x
= lima^x[a^(⊿x)-1]/⊿x
= lima^x[e^(⊿xlna)-1]/⊿x
= lima^x(⊿xlna)/⊿x
= lima^xlna
再问： 第3步怎么到第4步的
再答： e^(⊿xlna)-1 用等价无穷小 ⊿xlna 代换
再问： 怎么才算等价
再问： 是不是随意一个无穷小都可以
再答： 请看教科书上无穷小的比较一节。
无穷小有高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
两个无穷小比值的极限等于1 时，才是等价无穷小。
例如 sinx~x， tanx~x， 1-cosx~x^2/2, e^x-1~x, lnx~x.
这里用的就是 e^x-1~x