已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx．（a≠0）

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 17:44:19

已知函数f(x)=

解（1）因为f(x)=x(
1
3ax2+
1
2bx+c)，又x1+x2+x3=
9
2，x₁x₃=-12，
所以x2=0，x1+x3=
9
2，x1•x3=-12，
因为x₁，x₃是方程
1
3ax2+
1
2bx+c=0的两根，
所以-
3b
2a=
9
2，
3c
a=-12，即b=-3a，c=-4a，
从而：f(x)=
1
3ax3-
3
2ax2-4ax，
所以f′（x）=ax²-3ax-4a=a（x-4）（x+1）．
令 f′（x）=0解得：x=-1，x=4，
当a＞0时，y=f（x）的单调递减区间是（-1，4），单调递增区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
当a＜0时，y=f（x）的单调递增区间是（-1，4），单调递减区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因为f'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-
1
2a，
所以a+b+c=-
1
2a，即3a+2b+2c=0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是f′(1)=-
a
2＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①当c＞0时，因为f′(0)=c＞0，f′(1)=-
a
2＜0，
则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
②当c≤0时，因为f′(1)=-
a
2＜0，f′(2)=a-c＞0，
则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
（3）设m，n是导函数f'（x）=ax²+bx+c的两个零点，则m+n=-
b
a，mn=
c
a=-
3
2-
b
a．
所以|m-n|=
(m+n)2-4mn=
(-
b
a)2-4(-
3
2-
b
a)=
(
b
a+2)2+2．
由已知，
(
b
a+2)2+2≥
3，则(
b
a+2)2+2≥3，即(
b
a+2)2≥1．
所以
b
a+2≥1或
b
a+2≤-1，即
b
a≥-1或
b
a≤-3．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-
3
4a．
因为a＞0，所以-3＜
b
a＜-
3
4．
综上所述，
b
a的取值范围是[-1，-
3
4)．

已知函数F(x)＝13ax3+bx2+cx(a≠0)，F'（-1）=0．（2011•蓝山县模拟）已知函数f(x)＝13ax3+12bx2+cx（a＞0）．设函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是增函数.(详题见补充）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象经过原点，f′（1）=0若f（x）在x=-1取得极大值2．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则（　　）已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则 b2-3ac 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx是( ) 已知函数g（x）=ax3+bx2+cx（a∈R且a≠0）,g（-1）=0,则g（x）的导函数f（x）满足f（0）f（1）已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，（2013•眉山二模）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）