作业帮请问有谁见过这个三角形呢?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 07:36:07
请问有谁见过这个三角形呢?
请问这个三角形有什么延伸特征呢?△QPR与△ABC是什么关系呢?Q、P、R点是唯一的吗?
给出理由呀。
请问这个三角形有什么延伸特征呢?△QPR与△ABC是什么关系呢?Q、P、R点是唯一的吗?
给出理由呀。
唉呀,研究了三个多小时,终于研究点东西出来,拿出来和大家分享一下,先说我研究的结论：
1、题中所描述的三角形是普遍存在的,任何一下三角形都可以实现,直角,锐角,钝角都可以．
2、对于任意一个三角形,满足条件的Q、P、R点都有两组.
3、△QPR的面积等于△ABC面积的七分之一．
4、关于Q、P、R三点的确定,在任意一个三角形的三条边上分别取三分之一点,分别连接顶点和对边的三分之一点,三条线相交的三个点就分别是Q、P、R点．注意,三分之一点要交替取,如若D、E分别是AC和BC上的三分之一点,那么如果CD＝AC的三分之一,那么CE就应该等于BC的三分之二,依次类推．
5、对于△QPR与△ABC的关系,我还没能证明两者是相似的关系,明天有时间我再接着研究一下,也欢迎大家继续研究．
下面着重说一下第三点和第四点的证明过程．因为第三点和第四点成立,则第一点和第二点自然成立．
证明的方法是倒推法,也就是说假设题干的条件是成立的,那么来寻找符合这种条件的三角形所具备的特征．
如上图,分别连接AR、BP、CQ,这样,可以在△ABC内部找出七个三角形,分别是：△QPR、△CPQ、△QAC、△AQR、△QAB、△BQP、△PCB,这七个三角形的和正好是△ABC．因为题题干的条件P、Q、R分别是CQ、AP、BQ的中点,所以可以得出上述七个三角形的面积是相等的,所以第三点可证,即△PQR的面积是△ABC的七分之一．
从图中可以看出,△PAB的面积等于4倍的△PQR,也就是说,△PAB的面积等于△ABC的七分之四．
延长CQ交AB于D,则PD等于CD的七分之四,也就是说CP：DP＝3：4,
由于CP＝PQ,所以CP：PQ：QD＝3：3：1．
设S△PQR＝S△AQR＝S△RAB＝S△RPB＝a,因为PR：RD＝3：1,
所以在△PDB中,S△BPR＝3S△RBD＝a,所以S△RBD＝a／3．
在△PAD中,S△APR＝3S△ADR＝2a,所以S△ADR＝2a／3．
所以S△ADR＝2S△BDR,所以AD：BD＝2：1,
所以第四点可证,即D点是AB的三分之一点．分别延长另两边同理可证为三分之一点．
有了第四点的结论,那么第二点就好理解了,因为△ABC每个顶点的两边都是边长的三分之一点和三分之二点,这也就有两种情况,即,左边为三分之一点,右边为三分之二点和左边为三分之二点,右边为三分之一点.所以符合条件的点有两组.
1、题中所描述的三角形是普遍存在的,任何一下三角形都可以实现,直角,锐角,钝角都可以．
2、对于任意一个三角形,满足条件的Q、P、R点都有两组.
3、△QPR的面积等于△ABC面积的七分之一．
4、关于Q、P、R三点的确定,在任意一个三角形的三条边上分别取三分之一点,分别连接顶点和对边的三分之一点,三条线相交的三个点就分别是Q、P、R点．注意,三分之一点要交替取,如若D、E分别是AC和BC上的三分之一点,那么如果CD＝AC的三分之一,那么CE就应该等于BC的三分之二,依次类推．
5、对于△QPR与△ABC的关系,我还没能证明两者是相似的关系,明天有时间我再接着研究一下,也欢迎大家继续研究．
下面着重说一下第三点和第四点的证明过程．因为第三点和第四点成立,则第一点和第二点自然成立．
证明的方法是倒推法,也就是说假设题干的条件是成立的,那么来寻找符合这种条件的三角形所具备的特征．
如上图,分别连接AR、BP、CQ,这样,可以在△ABC内部找出七个三角形,分别是：△QPR、△CPQ、△QAC、△AQR、△QAB、△BQP、△PCB,这七个三角形的和正好是△ABC．因为题题干的条件P、Q、R分别是CQ、AP、BQ的中点,所以可以得出上述七个三角形的面积是相等的,所以第三点可证,即△PQR的面积是△ABC的七分之一．
从图中可以看出,△PAB的面积等于4倍的△PQR,也就是说,△PAB的面积等于△ABC的七分之四．
延长CQ交AB于D,则PD等于CD的七分之四,也就是说CP：DP＝3：4,
由于CP＝PQ,所以CP：PQ：QD＝3：3：1．
设S△PQR＝S△AQR＝S△RAB＝S△RPB＝a,因为PR：RD＝3：1,
所以在△PDB中,S△BPR＝3S△RBD＝a,所以S△RBD＝a／3．
在△PAD中,S△APR＝3S△ADR＝2a,所以S△ADR＝2a／3．
所以S△ADR＝2S△BDR,所以AD：BD＝2：1,
所以第四点可证,即D点是AB的三分之一点．分别延长另两边同理可证为三分之一点．
有了第四点的结论,那么第二点就好理解了,因为△ABC每个顶点的两边都是边长的三分之一点和三分之二点,这也就有两种情况,即,左边为三分之一点,右边为三分之二点和左边为三分之二点,右边为三分之一点.所以符合条件的点有两组.