作业帮复数域上的一个不等式这个不等式有什么比较漂亮的方法证明?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/20 14:57:16
复数域上的一个不等式
这个不等式有什么比较漂亮的方法证明?
这个不等式有什么比较漂亮的方法证明?
首先, 不妨设|a| ≥ |b|.
由绝对值不等式, 有|a-b| ≥ |a|-|b| ≥ 0.
因此只要证明(|a|-|b|)^γ ≥ |a|^γ-|b|^γ.
若|a| = 0, 有|b| = 0, 上式显然成立.
若|a| > 0, 设x = |b|/|a|, 上式可化为(1-x)^γ ≥ 1-x^γ, 其中0 ≤ x ≤ 1.
此时由0 ≤ γ < 1, 有x ≤ x^γ, 1-x ≤ (1-x)^γ.
相加即得x^γ+(1-x)^γ ≥ 1, 也即(1-x)^γ ≥ 1-x^γ.
也许方法不算漂亮, 但还算简单吧.
由绝对值不等式, 有|a-b| ≥ |a|-|b| ≥ 0.
因此只要证明(|a|-|b|)^γ ≥ |a|^γ-|b|^γ.
若|a| = 0, 有|b| = 0, 上式显然成立.
若|a| > 0, 设x = |b|/|a|, 上式可化为(1-x)^γ ≥ 1-x^γ, 其中0 ≤ x ≤ 1.
此时由0 ≤ γ < 1, 有x ≤ x^γ, 1-x ≤ (1-x)^γ.
相加即得x^γ+(1-x)^γ ≥ 1, 也即(1-x)^γ ≥ 1-x^γ.
也许方法不算漂亮, 但还算简单吧.