作业帮如图,不等边△ABC内接于⊙O,I是其内心,且AI⊥OI． 求证：AB+AC=2BC
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 00:34:16
如图,不等边△ABC内接于⊙O,I是其内心,且AI⊥OI． 求证：AB+AC=2BC
延长AI交⊙O于D,连接OA、OD、BD和BI,
∵OA=OD,OI⊥AD,
∴AI=ID,
又∠DBI=∠DBC+∠CBI=DAC+∠CBI,
= 1／2（∠BAC+∠ABC）=∠DIB,
因此,BD=ID=AI,
易证 = ,
故OD⊥BC,记垂足为E,则有BE= 1／2BC,
作IG⊥AB于G,又∠DBE=∠IAG,而BD=AI,
∴Rt△BDE≌Rt△AIG,
于是,AG=BE= 1／2BC,但AG=1／2 （AB+AC-BC）,
故AB+AC=2BC．
我想问为什么AG=1／2 （AB+AC-BC）
30分钟以内回答出来,
图
延长AI交⊙O于D,连接OA、OD、BD和BI,
∵OA=OD,OI⊥AD,
∴AI=ID,
又∠DBI=∠DBC+∠CBI=DAC+∠CBI,
= 1／2（∠BAC+∠ABC）=∠DIB,
因此,BD=ID=AI,
易证 = ,
故OD⊥BC,记垂足为E,则有BE= 1／2BC,
作IG⊥AB于G,又∠DBE=∠IAG,而BD=AI,
∴Rt△BDE≌Rt△AIG,
于是,AG=BE= 1／2BC,但AG=1／2 （AB+AC-BC）,
故AB+AC=2BC．
我想问为什么AG=1／2 （AB+AC-BC）
30分钟以内回答出来,
图
AG=1／2 （AB+AC-BC）
这是角平分线的特性,角平分线上的点到角两边的距离相等：AF=AE,BF=BD,DC=CE
代入化简得AF=1／2 （AB+AC-BC）
这是角平分线的特性,角平分线上的点到角两边的距离相等：AF=AE,BF=BD,DC=CE
代入化简得AF=1／2 （AB+AC-BC）