作业帮已知函数f(x)=1/x+aln(x+1).(1)当a=2时,求f(x)的 单调区间和极值(2)若f(x)在[2,4]上
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 19:16:54
已知函数f(x)=1/x+aln(x+1).(1)当a=2时,求f(x)的 单调区间和极值(2)若f(x)在[2,4]上为增函数,求a 取值范围
1）a=2,f(x)=1/x+2ln(x+1),定义域为x>-1,且x≠0
f'(x)=-1/x^2+2/(x+1)=[-x-1+2x^2]/[x^2(x+1)]=(2x+1)(x-1)/[x^2(x+1)]
由f'(x)=0得极值点x=-1/2,1
单调增区间;(-1,-1/2),及x>1
单调减区间：(-1/2,0)U(0,1)
f(-1/2)=-2-2ln2为极大值
f(1)=1+2ln2为极小值
2) f'(x)=-1/x^2+a/(x+1)=[ax^2-x-1]/[x^2(x+1)]在[2,4]为增函数,
即在此区间 ax^2-x-1>=0
得：a>=(x+1)/x^2
记t=1/x,在t在区间[1/4,1/2]
g(t)=t+t^2=(t+1/2)^2-1/4在此区间的最大值为g(1/2)=3/4
所以由a>=g(t),得：a>=3/4
f'(x)=-1/x^2+2/(x+1)=[-x-1+2x^2]/[x^2(x+1)]=(2x+1)(x-1)/[x^2(x+1)]
由f'(x)=0得极值点x=-1/2,1
单调增区间;(-1,-1/2),及x>1
单调减区间：(-1/2,0)U(0,1)
f(-1/2)=-2-2ln2为极大值
f(1)=1+2ln2为极小值
2) f'(x)=-1/x^2+a/(x+1)=[ax^2-x-1]/[x^2(x+1)]在[2,4]为增函数,
即在此区间 ax^2-x-1>=0
得：a>=(x+1)/x^2
记t=1/x,在t在区间[1/4,1/2]
g(t)=t+t^2=(t+1/2)^2-1/4在此区间的最大值为g(1/2)=3/4
所以由a>=g(t),得：a>=3/4
已知函数f(x)=1/x+aln(x+1) (1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间和极值 (2)
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