两个同阶群,分别是循环群和非循环群,是否一定不同构?证明之

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 08:42:53

设G为n阶循环群 ,H为n阶群,f:G->H为同构
则f把 G中的所有元素 e,a,a^2,...,a^(n-1) 映为H中的 e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) n个元素.由于H是n阶的,所以{ e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) }就是H的全部元素.于是H也是循环群,由元素f(a)生成
因此与循环群同构的群一定是循环群; 换句话说,非循环群和循环群一定不同构.

证明3阶群必是循环群证明在同构意义下4阶群仅有两种证明：循环群的自同构群一定是交换群 1证明；G是p^k（p是素数）阶循环群,证明G不能表示成其真子群的直和 2 群Z2*Z3与群Z6同构,群Z2*Z2与群Z 请问有限群一定是循环群吗?若不是能举出反例吗?若是如何证明? 近世代数问题如何证明无限阶循环群等价与任何循环群? 证明四阶群g必为循环群或klein群证明只含有两个元素的群一定是同构!) 设G是一个群,证明：如果G/Z(G)是循环群,则G是交换群离散数学（循环群）设是10阶循环群（1）找出G所有的生成元（2）写出G所有的非平凡子群,并求其左陪集划分设G=(a),F=(b)是两个有限循环群,G的阶是n,F的阶是m,证明:G与F同态,当且仅当m|n. 若循环群G的阶是n=pq,p、q是素数.其中子群Gp和Gq的生成元分别为g、h,则g*h是G的生成元.以下推出悖论抽象代数概念：n阶循环群的自同构是一个ψ(n)阶群（定理）