证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是多项式f(x)的次数.
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 04:06:39
证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是多项式f(x)的次数.
证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是f(x)的次数.
或者证明:
若f'(x)|f(x),且f(x)次数为n,则存在a,b使,f(x)=a(x-b)^n
这么简单的题,难道没有人知道吗?
证明:若f'(x)|f(x),则f(x)有n重因式,其中n是f(x)的次数.
或者证明:
若f'(x)|f(x),且f(x)次数为n,则存在a,b使,f(x)=a(x-b)^n
这么简单的题,难道没有人知道吗?
设
f(x)=a(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n])
那么
f(x)'=a[(x-a[2])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[2])(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n-1])]
如果f(x)'|f(x)
我们考察f(x)'的次数,是n-1次,而且f(x)'的n-1次项的系数是n,所以可以设
(x-m)f(x)'=nf(x)
也就是
(x-m)f(x)'=na(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n])
所以必然m等于某个a[i]
不妨设m=a[1]
那么
(x-a[1])a[(x-a[2])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[2])(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n-1])]=na(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n])
那么
[(x-a[1])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[2])(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n-1])]=(n-1)(x-a[2])(x-a[3])...(x-a[n])
左边每一项都能被(x-a[1])整除,所以右边(x-a[2]),...,(x-a[n])必然有一项满足a[j]=a[1]
不妨设是a[2]=a[1],那么利用a[1]=m我们有:
[(x-m)(x-a[3])...(x-a[n])+(x-m)(x-m)(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-m)(x-m)(x-a[3])...(x-a[n-1])]=(n-1)(x-m)(x-a[3])...(x-a[n])
那么
[(x-a[3])...(x-a[n])+(x-m)(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-m)(x-a[3])...(x-a[n-1])]=(n-1)(x-a[3])...(x-a[n])
那么
[(x-m)(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-m)(x-a[3])...(x-a[n-1])]=(n-2)(x-a[3])...(x-a[n])
现在左边每项可以被x-m整除,所有右边必然有一项,可以被x-m整除,不妨设a[3]=m.
然后.仿照上面的步骤,我们得到:
a[i]都是m
完毕.
f(x)=a(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n])
那么
f(x)'=a[(x-a[2])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[2])(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n-1])]
如果f(x)'|f(x)
我们考察f(x)'的次数,是n-1次,而且f(x)'的n-1次项的系数是n,所以可以设
(x-m)f(x)'=nf(x)
也就是
(x-m)f(x)'=na(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n])
所以必然m等于某个a[i]
不妨设m=a[1]
那么
(x-a[1])a[(x-a[2])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[2])(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n-1])]=na(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n])
那么
[(x-a[1])(x-a[3])...(x-a[n])+(x-a[1])(x-a[2])(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-a[1])(x-a[2])...(x-a[n-1])]=(n-1)(x-a[2])(x-a[3])...(x-a[n])
左边每一项都能被(x-a[1])整除,所以右边(x-a[2]),...,(x-a[n])必然有一项满足a[j]=a[1]
不妨设是a[2]=a[1],那么利用a[1]=m我们有:
[(x-m)(x-a[3])...(x-a[n])+(x-m)(x-m)(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-m)(x-m)(x-a[3])...(x-a[n-1])]=(n-1)(x-m)(x-a[3])...(x-a[n])
那么
[(x-a[3])...(x-a[n])+(x-m)(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-m)(x-a[3])...(x-a[n-1])]=(n-1)(x-a[3])...(x-a[n])
那么
[(x-m)(x-a[4])...(x-a[n])+.+(x-m)(x-a[3])...(x-a[n-1])]=(n-2)(x-a[3])...(x-a[n])
现在左边每项可以被x-m整除,所有右边必然有一项,可以被x-m整除,不妨设a[3]=m.
然后.仿照上面的步骤,我们得到:
a[i]都是m
完毕.
37.设σ是F上n维线性空间V的一个线性变换.证明:1.在F[x]中存在次数≤n2的非零多项式f(x),使f(σ)=0
若f(x)是关于x的10次多项式函数,且fn(x)=f'n-1(x)若fk(x)=0,则k=()
若m+n不等于零,f(x)是奇函数,[f(m)+f(n)]/m+n>0,怎样证明f(x)的单调性
已知函数f(x)的定义域是自然数集N f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,且有f(1)=1,求f(x).
高等代数问题填空:多项式f(x)没有重因式的充要条件是( )互素.
泰勒公式 证明泰勒中值定理是说函数f(x)等于n次多项式Pn(x)(就是f(x)的n阶泰勒公式)与Rn(x)(f(x)的
高代证明题设f(x)是数域P上的n次多项式,试给出f'(x)|f(x)的充要条件
如果f(x)=x+1,试求f(f(f(x)))的表达式,并猜一猜f(f(f(f...f(x)...)))(n∈N+)的表
设随机变量X~F(n,n),证明P(X
设f(x)是数域F上的2008次多项式,证明2009√2不可能是f(x)的根.在这里f(x)有可
若A是n阶矩阵,f(x)是一个常数项不为零的多项式,且满足f(A)=0,证明:A的特征值一定
f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3).(x-n),则f(x)的n+1阶求导