怎样证明连续n个数的积能被n!整除

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 10:33:58

怎样证明连续n个数的积能被n!整除

首先排除n个连续整数中有正有负的情况,因为这时这n个整数中含0,整除是显然的；
那么以下就可以假设这n个整数都是正的,因为负的情况可以完全类似得出.
设m是任给一个正整数,那么题目就是m(m+1)...(m+n-1)/n!是一个整数,而这个数是以下问题的答案：从m+n-1个互不相同的东东中任取n个有多少种取法,显然是个整数.
设m为任一整数,则式：
(m+1)(m+2)...(m+n)
=(m+n)!/m!
=n!*[(m+n)!/(m!n!)]
而式中[(m+n)!/(m!n!)]恰为C(m+n,m),也即是从m+n中取出m的组合数,当然为整数.
所以(m+1)(m+2)...(m+n)一定能被n!整除.
即证.

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