作业帮如何证明下面这个数列1*2+2*2+3*2+.+n*2=1/6n(n+1)(2n+1)注：1*2为1的平方
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 22:10:14
如何证明下面这个数列
1*2+2*2+3*2+.+n*2=1/6n(n+1)(2n+1)
注：1*2为1的平方
1*2+2*2+3*2+.+n*2=1/6n(n+1)(2n+1)
注：1*2为1的平方
本题可不用数学归纳法,而且对于更一般的,可以求得Sn=1^a+2^+……+n^a.注意到对于任意自然数k我们有：
1^3=3*1^2-3*1+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1.……
对等式两边分别求和（从1求和到n)；
n^3=3（1^2+2^2+……+n^2)-3(1+2……+n)+n,其中1^2+2^2+……+n^2=Sn.而1+2……+n即为等差数列求和.
整理得Sn=1/6n(n+1)(2n+1).
再看一个恒等式：k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4K-1.
分别求和,并且用到上面结论,即可以得到1^3+2^3+……+n^3
(注：^为次方）
1^3=3*1^2-3*1+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1.……
对等式两边分别求和（从1求和到n)；
n^3=3（1^2+2^2+……+n^2)-3(1+2……+n)+n,其中1^2+2^2+……+n^2=Sn.而1+2……+n即为等差数列求和.
整理得Sn=1/6n(n+1)(2n+1).
再看一个恒等式：k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4K-1.
分别求和,并且用到上面结论,即可以得到1^3+2^3+……+n^3
(注：^为次方）
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