设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/03 19:30:58
设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数k,必有( )
A. α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关
B. α1,α2,α3,kβ1+β2线性相关
C. α1,α2,α3,β1+kβ2线性无关
D. α1,α2,α3,β1+kβ2线性相关
A. α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关
B. α1,α2,α3,kβ1+β2线性相关
C. α1,α2,α3,β1+kβ2线性无关
D. α1,α2,α3,β1+kβ2线性相关
【解法1】
由题设可知,α1,α2,α3,β2线性无关,且β1可由α1,α2,α3线性表示,
故存在不全为0的一组常数k1,k2,k3使得:
β1=k1α1+k2α2+k3α3,
对于选项A和B:
(α1,α2,α3,kβ1+β2)=(α1,α2,α3,kk1α1+kk2α2+kk3α3+β2)→(α1,α2,α3,β2)(初等列变换),
因此:
r(α1,α2,α3,kβ1+β2)=r(α1,α2,α3,β2)=4.
故:α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关,
选项A正确,选项B错误.
对于选项C:
当k=0时,(α1,α2,α3,β1+kβ2)=(α1,α2,α3,β1)为线性相关的,
故选项C错误.
对于选项D:
当k=1时,
(α1,α2,α3,β1+kβ2)=(α1,α2,α3,β1)=(α1,α2,α3,k1α1+k2α2+k3α3+β2)→(α1,α2,α3,β2)
故:r(α1,α2,α3,β1+β2)=r(α1,α2,α3,β2)=4,
从而:α1,α2,α3,β1+β2线性无关.
故选项D错误.
综上所述,故选:A.
【解法2】
取k为特殊值,并结合排除法进行判断:
对于选项A和B:
取k=0,
则 (α1,α2,α3,kβ1+β2)=(α1,α2,α3,β2).
因为α1,α2,α3线性无关,且β2不能由α1,α2,α3线性表出,
故α1,α2,α3,β2线性无关,可排除B.
对于选项C:
取k=0,则(α1,α2,α3,β1+kβ2)=(α1,α2,α3,β1),
因为β1可由α1,α2,α3线性表出,故α1,α2,α3,β1线性相关,可排除C.
对于选项D:
取k=1,则(α1,α2,α3,β1+kβ2)=(α1,α2,α3,β1+β2),
因为β1可由α1,α2,α3线性表出,且β2不能由α1,α2,α3线性表出,
故α1,α2,α3,β1+β2线性无关,可排除D.
故选:A.
由题设可知,α1,α2,α3,β2线性无关,且β1可由α1,α2,α3线性表示,
故存在不全为0的一组常数k1,k2,k3使得:
β1=k1α1+k2α2+k3α3,
对于选项A和B:
(α1,α2,α3,kβ1+β2)=(α1,α2,α3,kk1α1+kk2α2+kk3α3+β2)→(α1,α2,α3,β2)(初等列变换),
因此:
r(α1,α2,α3,kβ1+β2)=r(α1,α2,α3,β2)=4.
故:α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关,
选项A正确,选项B错误.
对于选项C:
当k=0时,(α1,α2,α3,β1+kβ2)=(α1,α2,α3,β1)为线性相关的,
故选项C错误.
对于选项D:
当k=1时,
(α1,α2,α3,β1+kβ2)=(α1,α2,α3,β1)=(α1,α2,α3,k1α1+k2α2+k3α3+β2)→(α1,α2,α3,β2)
故:r(α1,α2,α3,β1+β2)=r(α1,α2,α3,β2)=4,
从而:α1,α2,α3,β1+β2线性无关.
故选项D错误.
综上所述,故选:A.
【解法2】
取k为特殊值,并结合排除法进行判断:
对于选项A和B:
取k=0,
则 (α1,α2,α3,kβ1+β2)=(α1,α2,α3,β2).
因为α1,α2,α3线性无关,且β2不能由α1,α2,α3线性表出,
故α1,α2,α3,β2线性无关,可排除B.
对于选项C:
取k=0,则(α1,α2,α3,β1+kβ2)=(α1,α2,α3,β1),
因为β1可由α1,α2,α3线性表出,故α1,α2,α3,β1线性相关,可排除C.
对于选项D:
取k=1,则(α1,α2,α3,β1+kβ2)=(α1,α2,α3,β1+β2),
因为β1可由α1,α2,α3线性表出,且β2不能由α1,α2,α3线性表出,
故α1,α2,α3,β1+β2线性无关,可排除D.
故选:A.
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