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如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 21:43:38
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,F为AB的中点.证明:

(1)EE1∥平面FCC1
(2)平面D1AC⊥平面BB1C1C.
证明:(1)证法一:取A1B1的中点为F1
连接FF1,C1F1
由于FF1∥BB1∥CC1
所以F1∈平面FCC1
因为 平面FCC1即为平面C1CFF1
连接A1D,F1C,
由于A1F1和D1C1和CD平行且相等.
所以 四边形A1DCF1为平行四边形,
因为 A1D∥F1C.
又 EE1∥A1D,
得EE1∥F1C,
而 EE1⊄平面FCC1,F1C⊂平面FCC1
故 EE1∥平面FCC1
证法二:因为F为AB的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,
所以CD∥AF,
因此 四边形AFCD为平行四边形,
所以 AD∥FC.
又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C,
FC⊂平面FCC1,CC1⊂平面FCC1
所以 平面ADD1A1∥平面FCC1
又 EE1⊂平面ADD1A1
所以 EE1∥平面FCC1
( 2)证明:连接AC,连△FBC中,FC=BC=FB,
又 F为AB的中点,
所以 AF=FC=FB,
因此∠ACB=90°,
即 AC⊥BC.
又 AC⊥CC1,且CC1∩BC=C,
所以 AC⊥平面BB1C1C,
而 AC⊂平面D1AC,
故 平面D1AC⊥平面BB1C1C.