作业帮一道条件简单但超级难的数学题!
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 15:58:41
一道条件简单但超级难的数学题!
用向量外积表示面积,表达更简明.
假定这个图形在XOY平面上.为了简明起见,原点O至各点的向量就用那个字母来表示,比如向量OA就用A表示.
若原点O在图中△ABC的内部,则用向量法表示,△OAB的面积＝½(A×B)．
这里×不是普通乘法,而是向量外积.你不用管外积是什么,这就相当于它的定义了.
外积的运算规则
1、负交换律：A×B＝－B×A.(也就是说面积是有向的),
2、平行相消律：A×A＝0.(可由1推得,因为A×A＝－A×A,这个按定义也易理解).
3、对加法的结合律：A×(B＋C)= A×B＋A×C
那么图中△ABC的2倍面积＝(B－A)×(C－A)＝(A×B＋B×C＋C×A)
易得四边形ABCD的2倍面积＝2△ABC的面积＋2△CDA的面积
＝A×B＋B×C＋C×D＋D×A
2△RMN的面积＝M×N＋N×R＋R×M
M、N分别是AC、BD的中点,故M＝½(A＋C),N＝½(B＋D)
A、B、R共线,故2△ABR的面积＝A×B＋B×R＋R×A＝0,同理,C×D＋D×R＋R×C＝0
所以2△MNR的面积＝¼(A＋C)×(B＋D)＋½(B＋D)×R＋½R×(A＋C)
＝¼(A×B＋A×D＋C×B＋C×D)＋½(B×R＋R×A)＋½(D×R＋R×C)
＝¼(A×B＋A×D＋C×B＋C×D)－½A×B－½C×D
＝－¼(A×B＋B×C＋C×D＋D×A)＝－¼四边形ABCD的2倍面积
对于无方向的面积,就是△RMN的面积是四边形ABCD面积的四分之一｡
(注：结果出现负四分之一倍,是因为ABCD与RMN旋向相反)
假定这个图形在XOY平面上.为了简明起见,原点O至各点的向量就用那个字母来表示,比如向量OA就用A表示.
若原点O在图中△ABC的内部,则用向量法表示,△OAB的面积＝½(A×B)．
这里×不是普通乘法,而是向量外积.你不用管外积是什么,这就相当于它的定义了.
外积的运算规则
1、负交换律：A×B＝－B×A.(也就是说面积是有向的),
2、平行相消律：A×A＝0.(可由1推得,因为A×A＝－A×A,这个按定义也易理解).
3、对加法的结合律：A×(B＋C)= A×B＋A×C
那么图中△ABC的2倍面积＝(B－A)×(C－A)＝(A×B＋B×C＋C×A)
易得四边形ABCD的2倍面积＝2△ABC的面积＋2△CDA的面积
＝A×B＋B×C＋C×D＋D×A
2△RMN的面积＝M×N＋N×R＋R×M
M、N分别是AC、BD的中点,故M＝½(A＋C),N＝½(B＋D)
A、B、R共线,故2△ABR的面积＝A×B＋B×R＋R×A＝0,同理,C×D＋D×R＋R×C＝0
所以2△MNR的面积＝¼(A＋C)×(B＋D)＋½(B＋D)×R＋½R×(A＋C)
＝¼(A×B＋A×D＋C×B＋C×D)＋½(B×R＋R×A)＋½(D×R＋R×C)
＝¼(A×B＋A×D＋C×B＋C×D)－½A×B－½C×D
＝－¼(A×B＋B×C＋C×D＋D×A)＝－¼四边形ABCD的2倍面积
对于无方向的面积,就是△RMN的面积是四边形ABCD面积的四分之一｡
(注：结果出现负四分之一倍,是因为ABCD与RMN旋向相反)