作业帮2013江西高考数学理
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 19:11:30
江西高考数学22题 2013•江西）已知函数f（x）=a(1−2|x−12|)，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x=12对称；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．
的第二问该如何下手，怎么想到要分类讨论a的范围？在该范围下又怎么求出f（f（x））
答案：（1）证明：∵f(12+x)=a(1−2|12+x−12|)=a（1-2|x|），f(12−x)＝a(1−2|12−x−12|)=a（1-2|x|），∴f(12+x)＝f(12−x)，∴f（x）的图象关于直线x=12对称．
（2）解：当0＜a＜12时，有f（f（x））=4a2x，x≤124a2(1−x)，x＞12．
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当a＝12时，有f（f（x））=x，x≤121−x，x＞12．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x≤12}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
当a＞12时，有f（f（x））=4a2x，x≤14a2a−4a2x，14a＜x≤122a(1−2a)+4a2x，12＜x≤4a−14a4a2−4a2x，x＞4a−14a，
∴f（f（x））=x有四个解：0，2a1+4a2，2a1+2a，4a21+4a2．
由f（0）=0，f(2a1+2a)＝2a1+2a，f(2a1+4a2)≠2a1+4a2，f(4a21+4a2)≠4a21+4a2．
故只有2a1+4a2，4a21+4a2是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为a＞12．
（3）由（2）得x1＝2a1+4a2，x2＝4a21+4a2．
∵x2为函数f（x）的最大值点，∴x3＝14a，或x3＝4a−14a．
当x3＝14a时，S（a）=2a−14(1+4a2)．求导得：S′（a）=−2(a−1+22)(a−1−22)(1+4a2)2．
∴当a∈(12，1+22)时，S（a）单调递增，当a∈(1+22，+∞)时，S（a）单调递减．
当x3＝4a−14a时，S（a）=8a2−6a+14(1+4a2)，求导得S′(a)＝12a2+4a−32(1+4a2)2．
∵a＞12，从而有S′(a)＝12a2+4a−32(1+4a2)2．
∴当a∈(12，+∞)时，S（a）单调递增．
（1）f（x）的图象关于直线x=12对称；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．
的第二问该如何下手，怎么想到要分类讨论a的范围？在该范围下又怎么求出f（f（x））
答案：（1）证明：∵f(12+x)=a(1−2|12+x−12|)=a（1-2|x|），f(12−x)＝a(1−2|12−x−12|)=a（1-2|x|），∴f(12+x)＝f(12−x)，∴f（x）的图象关于直线x=12对称．
（2）解：当0＜a＜12时，有f（f（x））=4a2x，x≤124a2(1−x)，x＞12．
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当a＝12时，有f（f（x））=x，x≤121−x，x＞12．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x≤12}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
当a＞12时，有f（f（x））=4a2x，x≤14a2a−4a2x，14a＜x≤122a(1−2a)+4a2x，12＜x≤4a−14a4a2−4a2x，x＞4a−14a，
∴f（f（x））=x有四个解：0，2a1+4a2，2a1+2a，4a21+4a2．
由f（0）=0，f(2a1+2a)＝2a1+2a，f(2a1+4a2)≠2a1+4a2，f(4a21+4a2)≠4a21+4a2．
故只有2a1+4a2，4a21+4a2是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为a＞12．
（3）由（2）得x1＝2a1+4a2，x2＝4a21+4a2．
∵x2为函数f（x）的最大值点，∴x3＝14a，或x3＝4a−14a．
当x3＝14a时，S（a）=2a−14(1+4a2)．求导得：S′（a）=−2(a−1+22)(a−1−22)(1+4a2)2．
∴当a∈(12，1+22)时，S（a）单调递增，当a∈(1+22，+∞)时，S（a）单调递减．
当x3＝4a−14a时，S（a）=8a2−6a+14(1+4a2)，求导得S′(a)＝12a2+4a−32(1+4a2)2．
∵a＞12，从而有S′(a)＝12a2+4a−32(1+4a2)2．
∴当a∈(12，+∞)时，S（a）单调递增．
解题思路： 函数的运算
解题过程：
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最终答案：略
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