椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)满足a≤(√3)b,若离心率为e,求e^2+1/e^2的最小值.
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/16 02:24:57
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)满足a≤(√3)b,若离心率为e,求e^2+1/e^2的最小值.
e=c/a,e²=c²/a²,又c²=a²-b²,
∴e²+1/e²=c²/a²+a²/c²
=(a²-b²)/a²+a²/(a²-b²)
=[2a²(a²-b²)+(b²)²]/[a²(a²-b²)]
=2+b²b²/[a²(a²-b²)]
=2+(b²/a²)[b²/(a²-b²)]
∵a≤(√3)b,∴a²≤3b²,
∴b²/a²≥1/3,且b²/(a²-b²)≥b²/(3b²-b²)=1/2
∴(b²/a²)[b²/(a²-b²)]≥(1/3)(1/2)=1/6
∴e²+1/e²=2+(b²/a²)[b²/(a²-b²)]≥2+1/6=13/6
即e²+1/e²的最小值是13/6.
∴e²+1/e²=c²/a²+a²/c²
=(a²-b²)/a²+a²/(a²-b²)
=[2a²(a²-b²)+(b²)²]/[a²(a²-b²)]
=2+b²b²/[a²(a²-b²)]
=2+(b²/a²)[b²/(a²-b²)]
∵a≤(√3)b,∴a²≤3b²,
∴b²/a²≥1/3,且b²/(a²-b²)≥b²/(3b²-b²)=1/2
∴(b²/a²)[b²/(a²-b²)]≥(1/3)(1/2)=1/6
∴e²+1/e²=2+(b²/a²)[b²/(a²-b²)]≥2+1/6=13/6
即e²+1/e²的最小值是13/6.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e
椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e,P为E上一点,从P向圆x^2+y^2=b^2作切线
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦距为2c,若三数a、b、c顺次组成一个等比数列,求离心率e
已知点A(0,-2)椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(根号3)/2 ,F是椭圆E的右焦
一道关于椭圆的题,已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,左右焦点分别为F1,
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),1/a^2+1/b^2=2,离心率e满足√3/3
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率e=√2/2,点A是椭圆上的一点,A到两焦点的距离之和为4
已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,右焦点F,且椭圆E上的点到点F的距离的最小
设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号2/2,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆c的
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1过点M(0,2),离心率e=根号6/3 求椭圆方程
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的半焦距为c,若点(c,2c)在椭圆上,则椭圆的离心率e
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F2(3,0)离心率为e,设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点,M、