如图，底面ABCD为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，所有棱长都为2，∠BAD=60°，E为BB1的延长线上一点

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/25 22:58:54

如图，底面ABCD为菱形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所有棱长都为2，∠BAD=60°，E为BB₁的延长线上一点，D₁E⊥面D₁AC．
（1）求线段B₁E的长度及三棱锥E-D₁AC的体积V

（1）如图所示，建立空间直角坐标系．

由题意可得A(
3，−1，0)，C（0，2，0），D₁（0，0，2），
B(
3，1，0)，B1(
3，1，2)．
设E(
3，1，z)，

D1E=(
3，1，z−2)，

D1A=(
3，−1，−2)，

D1C
=（0，2，-2）．
∵D₁E⊥面D₁AC，∴

D1E•

D1A＝3−1−2(z−2)＝0

D1E•

D1C＝2−2(z−2)＝0，解得z=3．
∴E(
3，1，3)．
∴|B₁E|=2．
∵|D₁A|=2
2=|D₁C|，|AC|=2
3，
∴S△ACD1=
1
2×2
3×
(2
2)2−(
3)2=
15，
∵|D₁E|=
(
3)2+1+(3−2)2=
5．
∴三棱锥E-D₁AC的体积V E−D1AC=
1
3•SACD1•|D1E|=
1
3×
15×
5=
5
3
3．
（2）假设在线段D₁E上存在一点P，使EO∥面A₁C₁P．
连接A₁C₁、B₁D₁，相交于点O₁，连接O₁P，则O₁P∥OE．
O(

3
2，
1
2，0)，O₁(

3
2，
1
2，2)，
∴

O1P＝λ

OE=λ(

3
2，
1
2，3)，
∴

x−

3
2＝

3
2λ
y−
1
2＝
1
2λ
z−2＝2λ，
另一方面

D1P＝μ

D1E，
∴

x＝
3μ
y＝μ
z−2＝μ，
解得x=
2
3
3，y=
2
3，z=
8
3，λ＝
1
3，μ=
2
3．
∴P(
2
3
3，
2
3，
8
3)．
∴

D1P＝
2
3

D1E，
∴
D1P
PE＝2．