已知定义在（-2,2）上的奇函数f(x),当x∈（0,2）时,f(x)=2^x/(4^x+1) （1）求f(x)在（-2

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 00:30:56

已知定义在（-2,2）上的奇函数f(x),当x∈（0,2）时,f(x)=2^x/(4^x+1) （1）求f(x)在（-2,2）上的解析式
已知定义在（-2,2）上的奇函数f(x),当x∈（0,2）时,f(x)=2^x/(4^x+1)
（1）求f(x)在（-2,2）上的解析式
（2）判断f(x)在（0,2）上的单调性,并给予证明；
（3）当λ为何值时,方程f(x)= λ在（-2,2）上有实数解.

(1)
由于是奇函数,所以f(0)=0
对于x∈(-2,0),-x∈(0,2)
f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/(4^(-x)+1)=-2^x/(4^x+1)
所以f(x)为分段函数
(0,2)上为2^x/(4^x+1)
0上值为0
(-2,0)上为-2^x/(4^x+1)
(2)
在(0,2)上,f(x)>0
所以可以去看f(x)的倒数上的单调性
1/f(x)=2^x+(1/2^x)=y+1/y（这里y=2^x并将1/f(x)看作复合函数)
由于y+1/y当y>1时为单调递增函数
而2^x为单调递增函数,且当x>0时,2^x>1
所以1/f(x)是两个递增函数的复合函数,也是递增函数
所以f(x)在(0,2)上是递减函数
(3)
由(2)我们知道了
f(x)在(0,2)是递减函数
所以只需要通过看端点值就可以知道它们的值域
2^x/(4^x+1)代入0后得到1/2,代入2后得到4/17
所以在(0,2)上的值域应为(4/17,1/2)
对应的(-2,0)上的值域应为(-1/2,-4/17)
再加上0点的值f(0)=0
得到λ∈(4/17,1/2)∪{0}∪{-1/2,-4/17}时
方程有实数解
再问：可我求的答案是-1/2≤λ≤1/2 啊？
再答：这个函数的中间明显是不连续的，所以不可能求得一个完整的区间
再问：哦哦知道了谢谢