作业帮一道立体几何题.我想到一半想不出来了
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 03:02:49
一道立体几何题.我想到一半想不出来了
如图,正方形ABCD边长为a,s∉平面ABCD,且SA=SB=SC=SD=2a P,Q分别在BD,SC上 BP:PQ=1:2 PQ//平面SAD 求PQ的长
我添了辅助线 过Q作QF//DC交DC于F 过P作//DC//AB交AD于E 然后怎么证明四边形PEFQ为平行四边形?
如图,正方形ABCD边长为a,s∉平面ABCD,且SA=SB=SC=SD=2a P,Q分别在BD,SC上 BP:PQ=1:2 PQ//平面SAD 求PQ的长
我添了辅助线 过Q作QF//DC交DC于F 过P作//DC//AB交AD于E 然后怎么证明四边形PEFQ为平行四边形?
你可能是忙中出错了!条件中的BP∶PQ＝1∶2,应该是BP∶PD＝1∶2.
若是这样,由方法如下：
过P作PE∥BA交AD于E,过Q作QF∥CD交SD于F.
∵ABCD是正方形,∴BA∥CD,又PE∥BA、QF∥CD,∴PE∥QF.
∵PE∥QF,∴P、Q、F、E共面,∴FE是平面SAD、平面PQFE的交线,而PQ∥平面SAD,
∴PQ∥EF,结合证得的PE∥QF,得：PQFE是平行四边形,∴EF＝PQ、EP＝QF.
∵BP∶PD＝1∶2,∴PD＝2BP,∴PD＋2PD＝2BP＋2PD＝2BD,∴PD/BD＝2/3.
∵PE∥BA,∴△DEP∽△DAB,∴DE/AD＝EP/AB＝DP/BD＝2/3,
∴DE＝（2/3）AD＝2a/3、EP＝（2/3）AB＝2a/3,∴QF＝EP＝2a/3.
∵QF∥CD,∴△SQF∽△SCD,∴SF/SD＝QF/CD＝（2a/3）/a＝2/3,
∴SF＝（2/3）SD＝4a/3,∴DF＝SD－SF＝2a－4a/3＝2a/3.
取AD的中点为M.
∵SA＝SD、AM＝DM,∴SM⊥DM,∴cos∠EDF＝DM/SD＝（a/2）/（2a）＝1/4.
由余弦定理,有：
EF^2＝DE^2＋DF^2－2DE×DFcos∠EDF,
∴EF^2＝4a^2/9＋4a^2/9－2×（2a/3）×（2a/3）×（1/4）,
∴EF^2＝8a^2/9－2a^2/9＝6a^2/9,
∴EF＝√6a/3.
∴PQ＝√6a/3.
注：若原题的条件不是我所猜测的那样,则请你补充说明.
若是这样,由方法如下：
过P作PE∥BA交AD于E,过Q作QF∥CD交SD于F.
∵ABCD是正方形,∴BA∥CD,又PE∥BA、QF∥CD,∴PE∥QF.
∵PE∥QF,∴P、Q、F、E共面,∴FE是平面SAD、平面PQFE的交线,而PQ∥平面SAD,
∴PQ∥EF,结合证得的PE∥QF,得：PQFE是平行四边形,∴EF＝PQ、EP＝QF.
∵BP∶PD＝1∶2,∴PD＝2BP,∴PD＋2PD＝2BP＋2PD＝2BD,∴PD/BD＝2/3.
∵PE∥BA,∴△DEP∽△DAB,∴DE/AD＝EP/AB＝DP/BD＝2/3,
∴DE＝（2/3）AD＝2a/3、EP＝（2/3）AB＝2a/3,∴QF＝EP＝2a/3.
∵QF∥CD,∴△SQF∽△SCD,∴SF/SD＝QF/CD＝（2a/3）/a＝2/3,
∴SF＝（2/3）SD＝4a/3,∴DF＝SD－SF＝2a－4a/3＝2a/3.
取AD的中点为M.
∵SA＝SD、AM＝DM,∴SM⊥DM,∴cos∠EDF＝DM/SD＝（a/2）/（2a）＝1/4.
由余弦定理,有：
EF^2＝DE^2＋DF^2－2DE×DFcos∠EDF,
∴EF^2＝4a^2/9＋4a^2/9－2×（2a/3）×（2a/3）×（1/4）,
∴EF^2＝8a^2/9－2a^2/9＝6a^2/9,
∴EF＝√6a/3.
∴PQ＝√6a/3.
注：若原题的条件不是我所猜测的那样,则请你补充说明.