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R中的完备性两个命题等价证明

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 16:48:55
R中的完备性两个命题等价证明
(1)R中的有上(下)界的非空集合在R中有上(下)确界.
(2)R中的Cauchy序列在R中收敛.
(1)=>(2)
若R中有上下界的非空集合在R中有上下确界成立
设A={an}为R中的一个柯西列,则任意epsilon>0,存在N,当n,m>N时,都有[an-am]N的数列分别有上下确界(上下极限)S与s,且S-s(1)
若R中的任意柯西序列都在R中收敛,要证明R中有上下界的非空集合在R中有上下确界成立
下面分这个非空集合是否是有限集合来讨论:
若是有限集合,则取最大数与最小数为上下确界即可
若集合是有界的无限集合,则其任意无限子集都有界,且必存在收敛的柯西子列,而柯西列一定存在上下确界