已知a、b均为正数,且a+b=2,求u=√（a²+4）+√（b²+1）的最小值

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 05:53:41

考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．运用对称分析,借助图形求U的最小值．此题考查了轴对称---最短路径问题,将表达式转化为勾股定理,体现了数形结合在解题中的作用
作线段AB=2,
过A作AC⊥AB,且AC=2,
过B在AB的另一侧作BD⊥AB,且BD=1
在AB上任取一点P,设PA=a,则PB=b,则a+b=2
连结PC,PD ,CD
由勾股定理得
CP=√(a²+2²)=√(a²+4)
DP=√(b²+1²)=√(b²+1)
CD=√[(2+1)²+2²]=√13
由两点之间线段最短得
CP+DP≥CD
即√(a²+4)+√(b²+1)≥√13
所以若a+b=2,则u=√(a²+4)+√(b²+1) 的最小值是√13
解2
分析：将b=2-a代入u=√(a²+4)+√(b²+1) ,得到u的关于a的表达式,再利用勾股定理,将表达式转化为直角三角形两斜边PC、PD的和,利用勾股定理求和即可.
将b=2-a代入u=√(a²+4)+√(b²+1)
得u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²)
构造如下图形,其中AB=2,AC=2,BD=1,AC⊥AB,BD⊥AB
P是AB上任意一点,点C是点A关于直线AB的对称点
设PA=a,则u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²) =PC+PD
当D、P、E三点共线时,u的值最小,此时由勾股定理可求得u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²)的最小值为√13
解3
作图可知,最小值相对于点（0,2）和点（2,-1）的距离
相当于求x轴上一点到点（0,2）和点（2,1）的距离和的最小值 ,也就是√13

已知a\b为正数,a+b=2,求根号a²+4+根号b²+1的最小值已知a b均为正数,且a+b=2,求U=根号a²+4+根号b²+1的最小值（有过程）已知a.b为实数,且a²-2a+b²=-1,求a+b+3的平方根已知a,b均为正数,且A+B=2 求U=根号下a²+4 +根号下b²+1 的最小值已知：a（a-1）-（a²-b）=5,求a²+b²／2-ab的值已知a>b>0,且ab=1.求a²+b²/a-b的最小值用不等式做` 已知a、b为实数,且a²+b²+5=2（a+2b）.求代数式／a-b／的值已知a,b均为正数,且ab-(3a+2b)=1,求a+b的最小值已知a²+b²+4a-2b+5=0求a²+ab+b²的值已知：根号下（a-4） =2,且a²+b²+c²=ab+bc+ca,求a²+b& 若2a²+3a+b=4,求｛（a+b)(a-b)+(a-b)²+4a²（a+1）｝/a的值已知|a-2|+b²+2b+1=0,求a²+ab/（a+b）²