定义域为R的函数f（x）满足以下两个条件：

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/19 11:04:52

定义域为R的函数f（x）满足以下两个条件：
①对于任意的x，y™R，均有f（x+y）=f（x）f（1-y）+f（1-x）f（y）成立；
②（x）在[0，1]上单调递增．
（Ⅰ）求证：f（1）=1；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）求满足f(2x−1)≥

（Ⅰ）证明：令x=y=0，得 f（0）=2f（0）f（1），所以f（0）=0或f(1)＝
1
2．（1分）
令x=0，y=1，得f（1）=[f（0）]²+[f（1）]²．
若f(1)＝
1
2，则f(0)＝±
1
2．
令x＝y＝
1
2，得f(1)＝2[f(
1
2)]2．
即f(
1
2)=±
1
2，
因为f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）＜f(
1
2)＜f(1)，矛盾！
因此f（0）=0，f（1）=[f（1）]²，f（1）=1．（3分）
（Ⅱ） f（x）是奇函数（4分）
令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．…①
令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．…②
即对于任意的x∈R，恒有f（x-1）=-f（1-x），
代入①式得对于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4），
即：函数f（x）的最小正周期为4．
令x＝y＝
1
3，f(
2
3)＝2f(
1
3)f(
2
3)，因为f(
2
3)＞f(0)＝0，，所以f(
1
3)＝
1
2．
由②得：f(
5
3)＝
1
2．
根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性，
观察得，若f(2x−1)≥
1
2，
则
1
3+4k≤2x−1≤
5
3+4k，k∈Z，
所以
2
3+2k≤x≤
4
3+2k，k∈Z，x∈{x|
2
3+2k≤x≤
4
3+2k，k∈Z}（8分）

有关“定义域为R的函数f(x)满足以下两个条件: 函数f（x）的定义域为R,且满足下面两个条件已知定义域为R的函数y=f(x)满足以下三个条件：已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：已知定义域为[0,1]的函数f（x）同时满足以下三个条件函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件；1、对任意x属于R,有f（x）>0；2、对任意x,y属于R,有f（xy）=[f 函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件：1,对任意x属于R,有f(x)大于零函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件：（1）对任意x,y属于R,有f(x)>0,(2)对任意x,y属于R有f(xy) 设函数f(X)满足以下条件,定义域为R,偶函数,值域[0,1)在[0,正无穷)为设函数f(x）的定义域为R,满足以下三个条件：①对于任意a、b∈R,都有①f(a+b)=f(a)+f(b)；设函数f(x)的定义域为R,且满足下列两个条件:（1）存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);（2）对任意x∈R,有f 已知函数f（x）的定义域为R+,且满足条件f（x）=f（1/x)*lgx+1,求f（x）的表达式