f(x)在(0,1)上可导,在[0,1]连续.且f(1)=0,试证明存在ξ属于[0,1]使得f(ξ)'= -2f(ξ)/
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 04:26:40
f(x)在(0,1)上可导,在[0,1]连续.且f(1)=0,试证明存在ξ属于[0,1]使得f(ξ)'= -2f(ξ)/ξ成立
证明:构造辅助函数证明
将要证明的表达式的ξ换成x,整理有
f'(x)/f(x)=-2/x
两边积分得
lnf(x)=-2lnx+lnC
知C=x²f(x)=g(x) (记)
由初等函数性质知g(x) 在[0,1]连续,在(0,1)可导,且有g(0)=g(1)=0
知g(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件
则存在ξ∈(0,1)使得
g'(ξ)=0
即ξ[2f(ξ)+f'(ξ)ξ]=0
又ξ≠0那么2f(ξ)+f'(ξ)ξ=0
整理便得证.
将要证明的表达式的ξ换成x,整理有
f'(x)/f(x)=-2/x
两边积分得
lnf(x)=-2lnx+lnC
知C=x²f(x)=g(x) (记)
由初等函数性质知g(x) 在[0,1]连续,在(0,1)可导,且有g(0)=g(1)=0
知g(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件
则存在ξ∈(0,1)使得
g'(ξ)=0
即ξ[2f(ξ)+f'(ξ)ξ]=0
又ξ≠0那么2f(ξ)+f'(ξ)ξ=0
整理便得证.
设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明:一定存在x属于【0,1/2】,使得f(x)=f(x+1/2
关于函数连续证明fx在〔0,2]连续且f(2)=f(0),证明存在x2-x1=1使得f(x1)=f(x2).
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明至少存在一点a属于[0,1],使得f(a+1/2)=f
设函数 f(x)在[0,2a]上连续,且 f(0) = f(2a),证明:存在Z属于[0,a),使得 f(Z) = f(
设f(x)在[0,1]上连续且可导,k为正整数,证明至少存在一点ξ属于(0,1)使得ξf'(ξ)+kf(ξ)=f'(ξ)
设f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导,且f(0)=0,证明:存在ξ∈(0,x),使得f(x)=(1+ξ)f’
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得f
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=1/e证明;存在a属于(0,1),使得f'(
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(0)=1,f(1)=0,证明:存在&属于(0,1) 使得f(&)=&的平方
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1
设函数f(x)在区间【0,1】上可导,且f(1)=0,证明至少存在一点$在(0,1)内,使得2$f($)+$*$f'$)
设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明至少存在一点a,a属于(0,1),使得f ' (x)