讨论函数 f（x）={[（1+x）^(1/x)]/e}^(1/x),x>0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 20:17:11

讨论函数 f（x）={[（1+x）^(1/x)]/e}^(1/x),x>0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续性

这道题在求limx趋近于0+的时候,为啥不能先把（1+x）^1/x 等价为e呢?这样做为啥不对呢?

因为（1+x)^(1/x)在x-->0+ 时
等于e + 无穷小量,而无穷小量的无穷大次幂（1/x是无穷大）是很难界定是否有界的,所以不能够先求解.
这类题目求解得最好方法就是：
（1）指数型A^B转化为exp{BlnA} == exp{lnA/(1/B)}分数型
（2）然后使用洛必达法则,对分子分母同时求导,直到为无穷小都可以忽略.
本题中：
x>0,f(x) = exp{1/x * ln[(1+x)^(1/x)/e]}=exp{[ln(1+x)-x]/x^2}
指数内部是0/0型
洛必达准则,f(0+)= lim exp{[ln(1+x)-x]/x^2} = exp{lim{[ln(1+x)-x]/x^2}}
= exp { lim [1/(1+x)-1]/(2*x)} = e(-0.5)
再问：但是那个是公认的等价无穷小啊，有什么不对的？你不能否定吧？
再答：你说的没有错，(1+x)^(1/x)在x-->o+时等于e，这仅仅是是针对这一个极限等式来的它的含义是什么呢？在数学上，它可以表示为： (1+x)^(1/x) = e +o(e)，等式右边就是一个无穷小量，相对e而言。但是在本题中，此时的中括号内部就等于 1+o（1），它也是一个无穷小量，相对1而言。如果直接省略掉这个无穷小量，这里就会出现问题，因为无穷小量的无穷大次幂是不确定的。实际上，如果你已经学习过了无穷级数，或者泰勒级数展开，再来看这个题目，对极限的d-e语言定义就会有更深刻的理解。

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