作业帮代数数系数方程的解一定都是代数数?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 21:11:47
代数数系数方程的解一定都是代数数?
先根据代数数的定义,整系数方程（有理数也可以）的解.
然后,用代数数作为方程的系数,请问这个时候方程的解还是代数数吗?
先根据代数数的定义,整系数方程（有理数也可以）的解.
然后,用代数数作为方程的系数,请问这个时候方程的解还是代数数吗?
可以从域扩张的观点来解释.主要利用这么一个事实：a是代数数当且仅当Q(a)是Q的有限次扩域.
假设所考虑的方程是：X^n+a[1]X^(n-1)+...+a[n]=0,其中a[k]都是代数数.则域F=Q(a[1],...,a[n])是Q的有限次扩域,因为它是n个有限次扩张的复合.
现在,令c是上述方程的一个解,则F(c)是F的有限次扩张,其扩张次数不超过n.这样,F(c)也是Q的有限扩域,而Q(c)是F(c)的子域,当然也是Q的有限扩域.于是c是代数数.
注意,这个命题的证明属于抽象代数的内容.要理解证明的内容,至少需要知道这些知识：线性空间、线性相关、（一般）域、域的（有限次）扩张.试图用凑方程系数来解决这个问题是不可取的.
假设所考虑的方程是：X^n+a[1]X^(n-1)+...+a[n]=0,其中a[k]都是代数数.则域F=Q(a[1],...,a[n])是Q的有限次扩域,因为它是n个有限次扩张的复合.
现在,令c是上述方程的一个解,则F(c)是F的有限次扩张,其扩张次数不超过n.这样,F(c)也是Q的有限扩域,而Q(c)是F(c)的子域,当然也是Q的有限扩域.于是c是代数数.
注意,这个命题的证明属于抽象代数的内容.要理解证明的内容,至少需要知道这些知识：线性空间、线性相关、（一般）域、域的（有限次）扩张.试图用凑方程系数来解决这个问题是不可取的.