作业帮已知函数f（x）=（x2+2x）e-x，x∈R．
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/29 05:42:58
已知函数f（x）=（x2+2x）e-x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f′（x）＞1，求证：f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f′（x）＞1，求证：f（x）＜1．
（1）∵f（x）=（x2+2x）e-x，x∈R，
∴f′（x）=（2x+2）e-x-（x2+2x）e-x=（2-x2）e-x，
∴由f′（x）＞0得-
2＜x＜
2，故f（x）在（-
2，
2）上是增函数，
由f′（x）＜0得x＜-
2或x＞
2，故f（x）在（-∞，-
2），（
2，+∞）上是减函数．
（2）由f′（x）＞1得（2-x2）e-x＞1，即ex＜2-x2，等价于x2+x-1＜x+1-ex，
先证：x+1≤ex，令g（x）=ex-（x+1），有g′（x）=ex-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）上单调递减；
∴g（x）≥g（0）=0，即x+1≤ex，
∴x2+x-1＜x+1-ex≤0，
∴x2+x-1＜0，由此得x2+2x＜x+1，
∴x2+2x＜x+1≤ex，
∴（x2+2x）e-x＜1，
即f（x）＜1．
∴f′（x）=（2x+2）e-x-（x2+2x）e-x=（2-x2）e-x，
∴由f′（x）＞0得-
2＜x＜
2，故f（x）在（-
2，
2）上是增函数，
由f′（x）＜0得x＜-
2或x＞
2，故f（x）在（-∞，-
2），（
2，+∞）上是减函数．
（2）由f′（x）＞1得（2-x2）e-x＞1，即ex＜2-x2，等价于x2+x-1＜x+1-ex，
先证：x+1≤ex，令g（x）=ex-（x+1），有g′（x）=ex-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）上单调递减；
∴g（x）≥g（0）=0，即x+1≤ex，
∴x2+x-1＜x+1-ex≤0，
∴x2+x-1＜0，由此得x2+2x＜x+1，
∴x2+2x＜x+1≤ex，
∴（x2+2x）e-x＜1，
即f（x）＜1．
已知函数f（x）=x2+|x-a|+1，（x∈R）．
已知函数f（x）=x2+3x|x-a|,其中a∈R．
已知a∈R，函数f（x）=（-x2+ax）e-x（x∈R，e为自然对数的底数）．
已知f（x）=（x2+ax+a）e-x（a≤2，x∈R）．
设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．
已知函数f（x）=x2-|4x|+3（x∈R），
已知函数f（x）=x2+2aln（1-x）（a∈R）,g（x）=f（x）-x2+x
已知函数f（x）=x2+|x-a|+1，a∈R．
已知函数f（x）=x2+|x-a|+1，a∈R，求f（x）的最小值．
已知函数f（x）=-x2+2x．
已知函数f（x）=x2-2|x|．
已知函数f（x）=x2+2x．