已知f(x+y)=f(x)+f(y)+xY(x+y),f’(0)=1.求f(x).

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 19:06:37

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),①
令x=y=0得f(0)=2f(0),f(0)=0.
令y=-x,得f（0)=f(x)+f(-x),
∴f(x)是奇函数.
令y=x,得f(2x)=2f(x)+2x^3,
猜f(x)=ax^3+bx,
8ax^3+2bx=(2a+2)x^3+2bx,
比较系数得8a=2a+2,a=1/3,
f(x)=(1/3)x^3+bx,
f'(x)=x^2+b,
f'(0)=b=1.
∴f(x)=(1/3)x^3+x.
检验：f(x+y)=(1/3)(x+y)^3+x+y
=(1/3)x^3+x+(1/3)y^3+y+xy(x+y)
=f(x)+f(y)+xy(x+y).
f1(x)=(1/3)x^3+x.
下面证明本题仅此一设f(x）=f1(x)+g(x),由①,
f1(x+y)+g(x+y)=f1(x)+g(x)+f1(y)+g(y)+xy(x+y),
∴g(x+y)=g(x)+g(y),
∴g(x)=kx(k为常数）,f(x)=f1(x)+kx,
f'(x)=f1'(x)+k,
令x=0得1=1+k,k=0,
∴f(x)=f1(x).

f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x/y)=f(x)-f(y) 已知二元函数f(xy,x+y)=x^2+y^2,求f(x,y) 已知函数f(x)对于任意实数xy 满足f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x-y)=f(x)-f(y) 已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值. 已知函数f(x）对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值 f(xy)=xf(y)+yf(x) 求f(x) 已知f(x)的定义域为{x|x>0}且f(xy)=f(x)+f(y),若f(9)=8,求f(3)的值已知f(x)的定义域为{x|x>0},且f(xy)=f(x)+f(y),若f(9)=8,求f(根号3) 急：已知f(x)的定义域为{X|X>0},且f(xy)=f(x)+f(y),若f(9)＝8,求f(3). 已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R,y∈R),且f(0)≠1. 函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 求f(0)的值 f(x)满足f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)求函数的奇偶性