作业帮∫1/（1+x∧2）∧3dx求积分
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 15:50:03
∫1/（1+x∧2）∧3dx求积分
令x=tanu,dx=sec²udu
∫ 1/(1+x²)³ dx
=∫ [1/(secu)^6]sec²u du
=∫ (cosu)^4 du
=(1/4)∫ (1+cos2u)² du
=(1/4)∫ (1+2cos2u+cos²2u) du
=(1/4)∫ [1+2cos2u+(1/2)(1+cos4u)] du
=(1/8)∫ (3+4cos2u+cos4u) du
=(3/8)u + (1/4)sin2u + (1/32)sin4u + C
=(3/8)u + (1/2)sinucosu + (1/16)sin2ucos2u + C
=(3/8)u + (1/2)sinucosu + (1/8)sinucosu(2cos²u-1) + C
=(3/8)arctanx + (1/2)x/(1+x²) + (1/8)[x/(1+x²)][2/(1+x²)-1] + C
=(3/8)arctanx + (1/2)x/(1+x²) + (1/4)[x/(1+x²)²] - (1/8)[x/(1+x²)] + C
=(3/8)arctanx + (3/8)x/(1+x²) + (1/4)[x/(1+x²)²] + C
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
∫ 1/(1+x²)³ dx
=∫ [1/(secu)^6]sec²u du
=∫ (cosu)^4 du
=(1/4)∫ (1+cos2u)² du
=(1/4)∫ (1+2cos2u+cos²2u) du
=(1/4)∫ [1+2cos2u+(1/2)(1+cos4u)] du
=(1/8)∫ (3+4cos2u+cos4u) du
=(3/8)u + (1/4)sin2u + (1/32)sin4u + C
=(3/8)u + (1/2)sinucosu + (1/16)sin2ucos2u + C
=(3/8)u + (1/2)sinucosu + (1/8)sinucosu(2cos²u-1) + C
=(3/8)arctanx + (1/2)x/(1+x²) + (1/8)[x/(1+x²)][2/(1+x²)-1] + C
=(3/8)arctanx + (1/2)x/(1+x²) + (1/4)[x/(1+x²)²] - (1/8)[x/(1+x²)] + C
=(3/8)arctanx + (3/8)x/(1+x²) + (1/4)[x/(1+x²)²] + C
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.