dy/dx=ax+by+c 怎么解微分方程?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 22:18:50

1.当b=0时,原方程为dy/dx=ax+c
==>dy=(ax+c)dx
==>y=ax²/2+cx+C (C是积分常数)
故此时,原方程的通解是y=ax²/2+cx+C (C是积分常数)；
2.当b≠0时,先解齐次方程dy/dx=by
∵dy/dx=by ==>dy/y=bdx
==>ln|y|=bx+ln|C| (C是积分常数)
==>y=Ce^(bx)
∴齐次方程dy/dx=by的通解是y=Ce^(bx) (C是积分常数)
∴设dy/dx=ax+by+c的通解为y=C(x)e^(bx) (C(x)是关于x的函数)
∵代入原方程得C'(x)e^(bx)=ax+c
==>C'(x)=(ax+c)e^(-bx)
==>C(x)=-(ax+c)e^(-bx)/b-a/b∫e^(-bx)dx
∴C(x)=-(ax+c)e^(-bx)/b-a/b²e^(-bx)+C （C是积分常数）
∴y=-(ax+c)/b-a/b²+Ce^(bx)
故此时,原方程的通解是y=-(ax+c)/b-a/b²+Ce^(bx) （C是积分常数）

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