（2006•东营）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/23 02:13:01

（2006•东营）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，
有题意可得：PQ∥AB，
∴△CQP∽△CBA，
∴
QP
CQ=
AB
BC，
∴
QP
x=
3
4，
解得：QP=
3
4x，
∴PM=3-
3
4x，
由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），
P点坐标为（x，3-
3
4x）．

（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4-x，
NC边上的高为
3
4x，其中，0≤x≤4．
∴S=
1
2（4-x）×
3
4x=
3
8（-x²+4x）
=-
3
8（x-2）²+
3
2．
∴S的最大值为
3
2，此时x=2．

（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=x．
∴3x=4，
∴x=
4
3．
②若CP=CN，则CN=4-x，PQ=
3
4x，CP=
5
4x，4-x=
5
4x，
∴x=
16
9；
③若CN=NP，则CN=4-x．
∵PQ=
3
4x，NQ=4-2x，
∵在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²，
∴（4-x）²=（4-2x）²+（
3
4x）²，
∴x=
128
57．
综上所述，x=
4
3，或x=
16
9，或x=
128
57．