[数学]三角形概率及面积计算

[数学]三角形概率及面积计算

2方法不限，但必须保证方法的正确性
问题3最好先求出一般情况下的解（解析解），再求具体数字

（3）设三角形三边为a>b ≥ c, a对的角为钝角,于是
a² > b² + c²
首先要指出一个事实：当三角形两边之和固定时,差越小,面积越大.
不妨假设a,b,c使得三角形面积最大（由于是整数,只有有限种情况,最大一定存在.若非整数,最大值也是存在的,不过要用到高等数学的知识）
如果b > c+1,那么：
a² > b² + c² > (b-1)² + (c+1)²,但由a, b-1, c+1组成的钝角三角形面积更大,矛盾.
所以b = c或b = c+1
下面考虑a-1, b, c+1,由于它肯定不是面积最大的钝角三角形,所以
(a-1)² ≤ b² + (c+1)²
于是a² - b² - c² ≤ 2(a+c) .  (*)
事实上,只要a,b,c满足b = c或b = c+1,a² - (b² + c²) > 0 且最小,一定满足上述条件,且是唯一的一组(a,b,c).此即为所求.
唯一性与存在性：设f(a,b,c) = a² - (b² + c²).b和c的地位可看作是对称的,只是至多相差1,约束条件是a+b+c=定值.
如果 f(a,b,c) > 2(a+c),考虑f(a-1,b, c+1) = f(a,b,c) - 2(a+c),显然更小.而最小值总是存在的（正整数不能无穷减少）
唯一性：由上面可以看出,取得最小值的(a,b,c)稍微变一下,就不满足条件(*).而取到最小值的(a,b,c)是唯一的.

下面求解a+b+c = 2013时的最小值.
大概是个等腰直角三角形,用2013/(2+√2)试一下,b大概在590附近,
f(833,590,590) = -2311,
f(834,590,589) = 535
所以834,590,589是最小的解.至于面积,用海伦公式算就可以了
再问： 
再答： (1)二种取法是等价的。即从x1,y1的分布可以推出x,y的分布，但x1,y1是独立的，而x,y不是 证明涉及随机变量的替换。(x1,y1)是[0,1]*[0,1]上的均匀分布，分x1y1两种情况（都是一样的）.x1 < y1时，相当于变换x = x1, y = y1 - x1，这个变换之后密度函数乘以行列式： 1 0 -1 1 = 1。由于两种情况，所以最后得到的密度函数是2,即(x,y)是{00, x+y+z=1}这个三角形上考虑均匀分布，这里问题是完全对称的。我相当于在xoy平面上做的投影，因为总要变成平面上的问题才能计算。你也看到，我选取的那个双曲线和直线夹的区域是比较好算的，至少双曲线的方程变量是容易分离的。其余两块也是双曲线，不过不是标准的形式，积分不好操作。 (3)你可以借助椭圆来思考。固定一边的三角相当于椭圆的焦三角形。由于底一定，所以高越大，面积越大。当然还有其它方法，像海伦公式中用均值不等式：p(p-a)(p-b)(p-c) 3 L = 4m+1, f(2m, m, m+1) = 2m² - 2m -1 > 0，当m > 1 L = 4m+2, f(2m,m+1, m+1) = 2m² - 4m - 2 > 0,当m > 2 L = 4m+3, f(2m+1, m+1, m+1) = 2m² - 1 > 0，当m > 0 其实这个函数的最大值一看便知，如上。8,10,12是仅有的三个例外。 对于(6)，事实上是求a:b:c类似最接近于√2 : 1 : 1。由于√2是个无理数，直觉上觉得解的表达会和√2的连分数展开有一些联系，像pell方程之类的，但我没时间就这一问题深入下去，你有兴趣就想想吧，应该是数论的范畴。表达式就算写出来，也不便于使用（会很复杂），所以给定具体数字，调整一下是最好不过了。
再问：
再答： 对，我最后是写错了。 关于（1）的严格证明，涉及到大学概率论中的随机变量的替换，和微积分中的变量替换的Jacobi行列式差不多。我想你以后会接触得到的。 (6)你的想法也是对的。我只不过把最大值直接看出来罢了（就是一个尽量接近于a = b+c的三角形）