作业帮高斯是怎么破解那道千古难题?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 17:01:38
高斯是怎么破解那道千古难题?
19岁时,仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正17边形那到
19岁时,仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正17边形那到
x^17-1=0的一个根是cos(2pi/17)+isin(2pi/17),记这个根是e,于是这个方程的所有根是1, e, e^2,..., e^16.
下面说的需要一点初等数论的知识.素数17的最小原根是3,将所有复数根按下面的方式排列：e, e^3, e^9, e^27=e^10, e^30=e^13, e^39=e^5, e^15, e^45=e^11...也就是每次都是指数乘3,然后模17同余.会得到所有16个复数根,这是原根的性质,你可以自己尝试计算.
把这重新排列的根按奇偶分成两组,即设d1=e+e^9+e^13+e^15+...,d2=e^3+e^10+e^5+e^11+...,经过简单但是烦人的计算可知,d1+d2=-1, d1*d2=-4,用韦达定理可知d1,d2可以由x^2+x-4=0求得.那个正根是d1,负根是d2.
将d1的所有项还是按奇偶分成两组,即设c1=e+e^13+..., c2=e^9+e^15+...,还是求和和求积,c1+c2=d1, c1*c2=-1（这些你都可以自己验证,用不了两张纸）,于是c1,c2可以由x^2-d1*x+1=0求得.
最后,再把c1的项按奇偶分成两组,b1=e+e^16,b2=e^13+e^4,求和和求积（和与积都是上次所得的结果）,用韦达定理求另一个二次方程,b1就是2cos(2pi/17).
所有尺规可做的图形都是只用一系列加减乘除和开平方运算得到的数值,这一系列二次方程正好可以满足这个要求.只要用一次项系数和常数项做线段就可以用尺规做出根来.
下面说的需要一点初等数论的知识.素数17的最小原根是3,将所有复数根按下面的方式排列：e, e^3, e^9, e^27=e^10, e^30=e^13, e^39=e^5, e^15, e^45=e^11...也就是每次都是指数乘3,然后模17同余.会得到所有16个复数根,这是原根的性质,你可以自己尝试计算.
把这重新排列的根按奇偶分成两组,即设d1=e+e^9+e^13+e^15+...,d2=e^3+e^10+e^5+e^11+...,经过简单但是烦人的计算可知,d1+d2=-1, d1*d2=-4,用韦达定理可知d1,d2可以由x^2+x-4=0求得.那个正根是d1,负根是d2.
将d1的所有项还是按奇偶分成两组,即设c1=e+e^13+..., c2=e^9+e^15+...,还是求和和求积,c1+c2=d1, c1*c2=-1（这些你都可以自己验证,用不了两张纸）,于是c1,c2可以由x^2-d1*x+1=0求得.
最后,再把c1的项按奇偶分成两组,b1=e+e^16,b2=e^13+e^4,求和和求积（和与积都是上次所得的结果）,用韦达定理求另一个二次方程,b1就是2cos(2pi/17).
所有尺规可做的图形都是只用一系列加减乘除和开平方运算得到的数值,这一系列二次方程正好可以满足这个要求.只要用一次项系数和常数项做线段就可以用尺规做出根来.